Equations d'évolution stochastiques locales ou non locales dans les problèmes de transition de phase.

par Perla El Kettani

Projet de thèse en Mathématiques appliquées


Sous la direction de Danielle Hilhorst.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMO - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) , Analyse numérique et équations aux dérivées partielles (equipe de recherche) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-10-2015 .


  • Résumé

    Le but de cette th èse est de d évelopper des m éthodes de d émonstration d'existence et d'unicité de solutions d' équations et de syst èmes d' équations stochastiques paraboliques non lin éaires et non locales. Elle est divisé e en trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous étudions un problème à valeur initiale pour une équation de r éaction-di ffusion stochastique non locale avec des conditions aux limites de Neumann homog ènes dans un ouvert born é de $R^n$ de front ière su ffisamment r éguli ère. On consid ère le cas d'un op érateur elliptique non lin éaire assez g én éral et on suppose que le bruit est additif et induit par un processus Q-Wiener. Le problème d éterministe dans le cas o ù le terme de diffusion est lin éaire a ét é introduit par Rubinstein et Sternberg pour mod éliser la s éparation de phases dans des alliages binaires. L'existence, l'unicit é et la stabilisation en temps long de la solution ont ét é d emontr és par Boussa ïd, Hilhorst et Nguyen. La d émonstration d'existence de la solution du problème stochastique est bas ée sur un changement de fonction qui fait intervenir la solution de l' équation de la chaleur stochastique avec un terme de diff usion non lin éaire. On est finalement conduit à l' étude d'un problème sans terme de bruit, ce qui facilite l'application de la m éthode de monotonie qui permet d'identifi er la limite des termes non lin éaires. Dans le deux ième chapitre, on étudie un syst ème de champ de phase stochastique avec un bruit multiplicatif induit par un processus Q-Wiener. Les probl èmes de champ de phase sont utilis és pour d écrire des mod èles o ù deux phases distinctes interviennent comme par exemple l'eau et la glace. Nous d émontrons l'existence et l'unicit é de la solution. Dans ce but, nous appliquons la m éthode de Galerkin et nous établissons des estimations a priori pour la solution approch ée. Ensuite, nous nous appuyons sur la m éthode de monotonie stochastique pour identi er la limite du terme non lin éaire. L'unicit é est d émontr ée en utilisant la formule d'itô pour la di fférence de deux solutions. Finalement, dans le trois ième chapitre, nous étudions l' équation d'Allen- Cahn non locale stochastique avec un bruit multiplicatif induit par un processus Q-Wiener. Nous d émontrons l'existence d'une solution en dimension d'espace d ≤ 6 en utilisant la m éthode de Galerkin. La pr ésence d'une variable suppl émentaire empêche l'application des th éor èmes de compacit é usuels utilis és dans les probl èmes d éterministes. C'est ce qui nous am ène à appliquer la m éthode de compacit é stochastique bas ée sur des espaces de Sobolev fractionnaires, et les th éor èmes de Prokhorov et Skorokhod pour obtenir la convergence forte d'une sous-suite de la solution approch ée par la m éthode de Galerkin.

  • Titre traduit

    Local and nonlocal stochastic evolution equations in phase transition problems.


  • Résumé

    The aim of this thesis is to develop methods for proving the existence and uniqueness of solutions of local and nonlocal stochastic evolution equations in phase transition problems. In the fi rst chapter, we study an initial value problem for a nonlocal stochastic reaction-di ffusion equation with homogenous Neumann boundary conditions in an open bounded set of $R^n$, with a smooth boundary. We consider the case of a general nonlinear elliptic operator and we suppose that the noise is additive and induced by a Q-Wiener process. The deterministic problem with a linear di ffusion term was introduced by Rubinstein and Sternberg to model phase separation in a binary mixture. The existence and uniqueness and the stabilisation of the deterministic solution for large times were proved by Boussaï d, Hilhorst and Nguyen. The proof of existence for the stochastic problem is based on a change of function which involves the solution of the stochastic heat equation with a nonlinear diffusion term. We obtain a problem without the noise term. This simpli fies the application of the monotonicity method, which we use in order to identify the limit of the nonlinear terms. In the second chapter, we study a phase field problem with a multiplicative noise induced by a Q-Wiener process. This problem models for instance the process of melting and solidifi cation. We prove the existence and uniqueness of the solution. To that purpose we apply the Galerkin method and derive a priori estimates for the approximate solutions. The last step is to identify the limit of the nonlinear terms which we do by the so-called stochastic monotonicity method. The uniqueness of the solution is based on applying the Itô's formula for the di fference of two solutions. Finally, in the third chapter, we study the stochastic nonlocal Allen-Cahn equation with a multiplicative noise induced by a Q-Wiener process. We prove the existence of a solution in space dimension up to 6 by means of the Galerkin method. The usual compactness methods used for deterministic problems cannot be applied in a stochastic context case because of the additional probability variable. Therefore, we apply the stochastic compactness method based on fractional Sobolev spaces, and the Theorems of Prokhorov and Skorokhod in order to deduce the strong convergence of a subsequence of approximate solutions.