Théorèmes ergodiques, actions de groupes et représentations unitaires

Ergodic theorems, group actions and unitary representations

• Auteur / Autrice : Antoine Pinochet Lobos
• Direction : Christophe Pittet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/06/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M) (Marseille, Luminy) (2014-....)
• Jury : Président / Présidente : Indira Lara Chatterji
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Quint, Pierre Mathieu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre-Emmanuel Caprace, Emmanuel Breuillard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Irrégularités de distribution (théorie des nombres)

Théorie ergodique

Physique mathématique

Mots clés libres

.

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions d'abord la notion de discrépance, qui mesure le taux de convergence des moyennes ergodiques. Nous démontrons des estimations pour la discrépance d'actions sur la sphère, le tore et le shift de Bernoulli, ainsi que pour des actions de groupes localement compacts ; nous démontrons une inégalité qui permet de situer la discrépance dans le cas des actions de groupes dans le cadre général des méthodes de Monte-Carlo. Nous considérons ensuite l'action du groupe libre sur le bord de l'arbre de Cayley qui lui est associé. Nous démontrons un théorème ergodique pour certaines moyennes pondérées pour cette action, qui ne préserve que la classe des mesures naturelles sur ce bord. Nous retrouvons ainsi l'irréductibilité de la représentation unitaire associée à l'action. La troisième thématique concerne la propriété de Howe-Moore. Les groupes qui la vérifient ont la propriété que toutes leurs actions ergodiques sont automatiquement mélangeantes, mais cette propriété n'est pas stable par produit direct. Nous proposons une généralisation de la propriété de Howe-Moore, qui passe par une axiomatisation du phénomène de Mautner, qui permet d'étudier le cas des produits. Enfin, nous montrons que tous les réseaux héritent de la propriété de décroissance rapide radiale, et nous donnons l'exemple explicite d'un groupe discret, muni d'une fonction de longueur naturelle, quasi-isométrique à une longueur des mots, qui possède la propriété RRD, mais pas la propriété RD

In this thesis, we first study the notion of discrepance, which measures the rate of convergence of ergodic means. We prove estimations for the discrepancy of actions on the sphere, the torus and the Bernoulli shift, as well as for actions of locally compact groups. Moreover, we prove an inequality that allows us to locate these discrepancies in the larger framework of the Monte-Carlo method. We consider the action of the free group on the boundary of its Cayley tree. We prove a convergence theorem of some means associated with this action, that only preserves the class of the natural measures on this boundary. We recover the previously known result that the unitary representation associated to it is irreducible. We then investigate the Howe-Moore property. Groups that satisfy it have the property that whenever they act ergodically on some probability space, then the action is mixing ; unfortunately, this property is not stable by direct products. We formulate a generalization of the Howe-Moore property, relying on an axiomatization of the Mautner phenomenon, that allows us to treat the case of products. Finally, we prove that every lattice inherits the radial rapid decay property, and give an explicit example of a discrete group, endowed with a natural length function which is quasi-isometric to a word-length, that has RRD but doesn't have RD