Théorie de Liouville et Cartes aléatoires

par Severin Charbonnier

Projet de thèse en Physique

Sous la direction de François David et de Bertrand Eynard.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale Physique en Île-de-France (Paris) , en partenariat avec IPhT - Institut de Physique Théorique (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2015 .


  • Résumé

    Le sujet de la thèse porte sur l'étude des relations entre formulations de types cartes aléatoires et la formulation initiale d'A. Polyakov de la gravité quantique, via des idées d'empilements et d'agencements de cercles (circle packings and circle patterns). L'un des grands défis depuis quelques années est de comprendre comment la limite continue des surfaces discrétisées, tend vers la théorie de Liouville. Il a été montré que la limite continue des surfaces aléatoires munies de la topologie de Gromov-Hausdorff existe ([Le Gall, [6]], [Miermont, [8]]). Il faut désormais comparer cette limite avec la théorie de Liouville conforme, et prouver qu'elles sont équivalentes (si elles le sont effectivement). Tout en visant cet objectif ambitieux, le but de la thèse est surtout de faire de nouveaux pas dans cette direction, en étudiant des modeles simples. Le principe de l'approche discrétisée est de compter les cartes aléatoires en introduisant une mesure sur ces dernières. On s'intéressera dans un premier temps à la gravité quantique sur la sphère, qui est une surface topologique de genre 0. Il sera possible de considérer par la suite des surfaces topologiques d'un autre genre. Une carte aléatoire sur la sphère sera une triangulation abstraite sur cette dernière, à laquelle un angle est assigné à chaque arête. Afin d' étudier la mesure sur les triangulations, diverses méthodes ont été utilisées jusqu'à présent pour plonger une triangulation abstraite dans le plan. La mesure est elle aussi plongée dans le plan. Les méthodes qui utilisent l'agencement de cercles ont pour avantages d'être des plongements quasi-conformes d'une part, ce qui sied à une théorie des champs conforme, plongements obtenus par un principe variationnel d'autre part ([Rivin, [10], Springborn, [11]]). Un exemple de plongement de triangulations abstraites dans le plan qui sera considéré se fait via les triangulations de Delaunay. L'agencement des cercles circonscrits aux faces d'une triangulation de Delaunay constitue une extension naturelle des empilements de cercles. Divers résultats sont disponibles pour ce type de plongements ([David & Eynard, [2]]), et une propriété de croissance sur la mesure lorsque le nombre de points de la triangulation augmente a été prouvée récemment. Il s'agira d' étudier la limite de cette mesure pour un grand nombre de points, et de trouver les candidats potentiels de champs pour la métrique dans ce type de plongements, dans le but d'obtenir la théorie de Liouville avec l'action S[φ] à terme. Un autre versant consistera à utiliser l'approche topologique d'E. Witten et M. Kontsevich ([Kontsevich, [5]]) comme intermédiaire entre l'approche discrétisée et la formulation d'A. Polyakov. Dans cette approche, il s'agit, plutôt que de compter le nombre de discrétisations possibles par une mesure sur les triangulations, de compter le nombre de surfaces de Riemann d'un genre donné (la sphère dans le cadre premier de cette thèse), à l'aide d'une mesure sur les espaces de modules Mg,n (g est le genre de la surface topologique et n le nombre de points que l'on ponctionne sur la surface). Interviennent alors des découpages de surfaces topologiques, représentés par les graphes de Strebel. L'avantage de cette approche est que le champ à considérer pour la métrique est déjà connu. Il s'agira de rapprocher les découpages de la sphère par les graphes de Strebel avec la discrétisation de la sphère par les triangulations de Delaunay. Puis il faudra identifier le champ correspondant à la métrique dans l'approche discrète via le champ connu de la théorie topologique. [1] David, F. Conformal field theories coupled to 2-d gravity in the conformal gauge. Mod. Phys. Lett. A, 3, 1651-1656, (1988) [2] David, F., Eynard, B. Planar maps, circle patterns and 2d gravity. Arxiv: 1307.3123v2 (2013) [3] Distler, J., Kawai, H. Conformal field theory and 2-D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville ?, Nucl. Phys. B 321:509 (1989) [4] Distler, J., Hlousek, H. and Kawai, H. Hausdorff dimension of continuous Polyakov's random surfaces or who's afraid of Joseph Liouville ? Part 2, Int. J. Mod. Phys A5 1093 (1990) [5] Kontsevich, M. Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function. Commun. Math. Phys., 147:1-23 (1992) [6] Le Gall, J.-F. Uniqueness and universality of the Brownian map. Ann. Probab., 41:2880-2960 (2013) [7] Nakayama, Y. Liouville Field Theory A decade after the revolution. Int. J. Mod. Phys. A, 19:2771 (2004) [8] Miermont, G. The Brownian map is the scaling limit of uniform random plane quadrangulation. Acta Math., 210:319-401. [9] Polyakov, A. Quantum geometry of bosonic strings. Physics Letters B, 103(3):207- 210 (1981) [10] Rivin, I. Euclidean structures on simplicial surfaces and hyperbolic volume. Annals of Mathematics, 139, 553-580 (1994) [11] Springborn, B.A. A variational principle for weighted Delaunay triangulations and hyperideal polyhedra. J. Differential Geom. 78:333-367 (2008) [12] Witten, E. On the structure of the topological phase of two dimensional gravity. Nucl. Phys. B, 340:281 (1990)

  • Titre traduit

    Liouville Theory and Random Maps


  • Résumé

    The thesis is about the study of the links joining random maps formulations and the original formulation of Quantum Gravity by A. Polyakov, concerning quantum gravity. This will be carried out with ideas of circle packings and circle patterns. One challenge is to understand how the continuum limit of discretized surfaces tends toward Liouville Theory. It has been precedently shown that the continuum limit exists in the Gromov-Hausdorff sense ([Le Gall, [6]], [Miermont, [8]]). One should now compare this limit with conformal Liouville theory, and prove that they are equivalent. Aiming this amibitious goal, the purpose of the thesis is first of all to make new steps in that direction, via simple models. [1] David, F. Conformal field theories coupled to 2-d gravity in the conformal gauge. Mod. Phys. Lett. A, 3, 1651-1656, (1988) [2] David, F., Eynard, B. Planar maps, circle patterns and 2d gravity. Arxiv: 1307.3123v2 (2013) [3] Distler, J., Kawai, H. Conformal field theory and 2-D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville ?, Nucl. Phys. B 321:509 (1989) [4] Distler, J., Hlousek, H. and Kawai, H. Hausdorff dimension of continuous Polyakov's random surfaces or who's afraid of Joseph Liouville ? Part 2, Int. J. Mod. Phys A5 1093 (1990) [5] Kontsevich, M. Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function. Commun. Math. Phys., 147:1-23 (1992) [6] Le Gall, J.-F. Uniqueness and universality of the Brownian map. Ann. Probab., 41:2880-2960 (2013) [7] Nakayama, Y. Liouville Field Theory A decade after the revolution. Int. J. Mod. Phys. A, 19:2771 (2004) [8] Miermont, G. The Brownian map is the scaling limit of uniform random plane quadrangulation. Acta Math., 210:319-401. [9] Polyakov, A. Quantum geometry of bosonic strings. Physics Letters B, 103(3):207- 210 (1981) [10] Rivin, I. Euclidean structures on simplicial surfaces and hyperbolic volume. Annals of Mathematics, 139, 553-580 (1994) [11] Springborn, B.A. A variational principle for weighted Delaunay triangulations and hyperideal polyhedra. J. Differential Geom. 78:333-367 (2008) [12] Witten, E. On the structure of the topological phase of two dimensional gravity. Nucl. Phys. B, 340:281 (1990)