La distribution de l'aire algébrique entourée par les marches aléatoires bidimensionnels biaisées et no biaisées et le modèle de Hofstadter

par Shuang Wu

Projet de thèse en Physique

Sous la direction de Stéphane Ouvry.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale Physique en Île-de-France (Paris) , en partenariat avec Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement de préparation de la thèse) depuis le 01-09-2015 .


  • Résumé

    Mon travail porte sur l'étude des statistiques des marches aléatoires fermées et ses aires algébriques sur un réseau carré bidimensionnel à travers sa fonction caractéristique, appelé la fonction génératrice Zm1,m2,l1,l2(Q), elle caractérise la distribution de l'aire algébrique d'une marche aléatoire bidimentionnelle de m1 pas vers la gauche, m2 pas vers la droite, l1 pas vers le haut et l2 pas vers le bas (Q est un facteur qui est pris en compte l'influence de l'ordre des pas pour distinguer les différentes marches). Cette fonction génératrice est non seulement utile pour la marche aléatoire mais aussi pour le modèle de Hofstadter quantique où une particule chargée se déplace sur un réseau carré couplé un champ magnétique perpendiculaire, essentiellement, c'est comme une seule Bloch bande avec un champ magnétique appliqué. La liaison entre le modèle de Hofstadter et la marche aléatoire est : Quand Zm,m,n/2-m,n/2-m(Q), la fonction génératrice d'une marche aléatoire fermée de n pas total qui est évaluée avec Q=e^(iγ) où γ=2πp/q (Q est un racine de l'unité, p et q sont relativement primes), la somme de Zm,m,n/2-m,n/2-m(eiγ) qu'on appelle Zn(e^(iγ)) est égale à la trace de l'Hamiltonien de Hofstadter puissance n. Mon travail consiste à étudier les deux problèmes ensemble, qui permet de trouver une formule générale pour la trace de l'Hamiltonien de Hofstadter puissance n et Zn(e^(iγ)), la somme de la fonction génératrice Zm,m,n/2-m,n/2-m(e^(iγ)).

  • Titre traduit

    Algebraic area distribution of two-dimensional biased and unbiased random walks and the Hofstadter model


  • Résumé

    The Hofstadter problem in quantum mechanics (a charge particle hopping on a square lattice coupled to a perpendicular magnetic field) is fascinating for several reasons : its spectrum is a rare example of a fractal emerging from quantum mechanics, its transport properties can shed an interesting light on the quantum Hall effect, and it is mapped on closed random walks on a square lattice by means of the generating function for the probability distribution of the algebraic area enclosed by these walks. A closed expression of the generating function is still today an open issue and remains a quite challenging problem. On the other hand, in the particular case of biased random walks, i.e. walks conditionned to move horizontally only to the right and never to the left, a closed expression for the algebraic area generating function has been found. More recently this generating function has been used to map biased random walks on a quantum mechanical model « à la Hofstadter » where particles hop horizontally only to the right, and never to the left. This biased quantum model is by construction non Hermitian and might be interpreted physically as a left-right motion enforcing of charged particles – electrons - coupled to a perpendicular magnetic field, a typical quantum Hall effect setting. Its spectrum has been analytically derived in the case of interest where the magnetic flux per lattice plaquette is a rational number p/q when counted in unit of the flux quantum.