Optimisation de forme et anisotropie par une méthode isogéometrique-polaire

par Dossou Kpadonou

Projet de thèse en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Paolo Vannucci.

Thèses en préparation à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMV - Laboratoire de Mathématiques de Versailles (laboratoire) , Analyse et équations aux dérivées partielles (LMV) (equipe de recherche) et de université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (établissement de préparation de la thèse) depuis le 03-03-2014 .


  • Résumé

    Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'optimisation conjointe de forme et des propriétés matériaux de structures minces composites. De plus en plus utilisées dans le milieu industriel, ces structures apparaissent dans différents domaines tels que l'aéronautique et l'automobile. Modélisées par des coques, l'optimisation de telles structures se fait à deux niveaux. Un premier niveau (macroscropique) où l'on optimise la forme de la structure et les propriétés matériaux homogénéisées. Il s'ensuit un deuxième niveau d'optimisation (mésoscopique) où l'on définit une séquence d'empilement et les champs d'anisotropie (orientation, et modules de Young) des plis pour qu'elle corresponde aux propriétés matériaux optimales du premier niveau. Nous modélisons le comportement d'une coque anisotrope à l'aide du modèle de Naghdi (Reissner-Mindlin) qui permet de prendre en compte le cisaillement transverse. Dans ce type de modèle bidimensionnel, les équations mécaniques, définies sur un domaine bidimensionnel en coordonnées curvilignes, sont directement paramétrées par la fonction de forme à travers des quantités intrinsèques de la géométrie telles que les tenseurs métrique, de courbure et Christoffels etc. Ainsi, nous pouvons étudier la sensibilité de critères mécaniques, tels que la compliance ou fréquence de vibration, par rapport aux propriétés matériaux et aux paramètres de la fonction de forme. Dans ce contexte, nous proposons d'utiliser les carreaux de Bézier, B-spline ou NURBS comme fonctions de forme et paramétrages des propriétés matériaux. Nous pouvons ainsi optimiser la position des points de contrôle de ces fonctions. L'approche proposée permet de réduire le nombre de variables d'optimisation aussi bien de forme que des propriétés matériaux. L'optimisation de forme se faisant directement sur les patches utilisés par la CAO et sans maillage (approche isogéométrique), la solution optimale peut être facilement intégrée dans un processus de conception industriel.

  • Titre traduit

    Shape and anisotropy optimization by an isogeometric-polar method


  • Résumé

    We are interested, in this thesis, by the simultaneous optimisation of shape and material properties of surface composite structures. These structures are more welcomed and integrated in industry and appear in many domains such as aeronautic and automotive. Modelized by shells, the optimization or design of this kind of structures is made through two levels. A first (macroscopic) level at which the shape and homogenized elastic properties of the equivalent single-layer are designed. It then follows a second (mesoscopic) level at which we define the stacking sequence, and the anisotropy of the constitutive layers whose homogenized elastic properties corresponds to the first level. We modelize the behavior of the anisotropic shell with the Naghdi shell model (Reissner-Mindlin) which allows to take into account the transverse shear. In this type of two-dimensional model, the mechanical equations defined over a bidimensional domain of curvilinear coordinates is directly parameterized by the shape function through intrinsic quantities of the geometry such as metric and curvature tensors or Christoffels. So, we can study the sensitivity of some mechanical criteria such as compliance and frequency of vibration with respect to the material properties and the shape parameters. Within this framework, we use Bezier, B-spline or NURBS as both shape functions and material properties parameterization. We can, then, optimize the position of the control points of these functions. The proposed approach allows to reduce the number of design variables for both shape and material properties. The shape optimisation is made directly on patches generated by CAD and solved by isogeometric approach (meshless). Finally, the optimal design can be integrated easily in an industrial design process.