Équations cinétiques non collisionnelles : stabilité, oscillations

par Marine Malo

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Florian Méhats et de Mohammed Lemou.


  • Résumé

    L'objet d'étude de cette thèse sera le système de Vlasov-Poisson, un modèle cinétique non collisionnel permettant de décrire des systèmes de grands nombres de particules en interaction longue portée, et des dérivés de ce modèle. Lorsque l'interaction est attractive, on parle du modèle de Vlasov-Poisson gravitationnel, qui intervient en astrophysique pour décrire des ensembles d'étoiles comme les amas globulaires. Lorsque l'interaction est répulsive, on décrit des particules chargées, donc des plasmas.Ces modèles font l'objet d'intenses travaux actuellement : pour l'astrophysique avec l'étude de l'amortissement Landau, pour les plasmas dans le contexte des tokamaks. Dans cette thèse, on s'intéressera dans un premier temps à une version simplifiée du système de Vlasov-Poisson gravitationnel, appelée Hamitonian Mean-Field model (HMF) et étudiée comme modèle de laboratoire pour mieux comprendre la phénoménologie complexe du vrai modèle physique. On examinera tout d'abord la question de stabilité non linéaire des états stationnaires non homogènes, par des techniques mises au point récemment par les directeurs de thèse, fondées sur des réarrangements symétriques généralisés. Conjointement, afin de compléter ce travail théorique par des études numériques de comportement en temps long près des états stationnaires, on réfléchira à la construction de méthodes numériques dites "wellbalanced", qui conservent bien ces états d'équilibres. Par ailleurs, dans cette thèse on s'intéressera aussi aux plasmas avec le modèle de Vlasov-Poisson auquel on rajoute un fort champ magnétique chargé. Dans ce cas, l'enjeu du point de vue numérique est de construire des méthodes qui rendent bien compte des phénomènes d'oscillations rapides sans toutefois que les coûts de calculs soient pénalisées par ces hautes fréquences. Des techniques récentes de schémas "asymptotic preserving", ou uniformément précis, pourront être revisitées, en particulier pour les adapter aux méthodes particulaires qui sont très utilisées dans ce contexte. L'équilibrage précis entre ces deux thématiques (gravitation et plasmas) qui se complètent se décidera en cours de thèse en fonction de l'avancement.


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