Questions d’approximation et de compacité pour des problèmes variationnels géométriques

Questions of approximation and compactness for geometric variational problems

• Auteur / Autrice : Chih-Kang Huang
• Direction : Olivier Druet, Simon Masnou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/10/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvie Benzoni-Gavage
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Druet, Simon Masnou, Paul Laurain, Benoît Merlet, Laurence Cherfils
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Paul Laurain, Benoît Merlet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse géométrique asymptotique

Analyse fonctionnelle non linéaire

Fonctionnelles de Willmore

Approximation numérique

Mots clés libres

Approximation par champ de phase

Flots géométriques

Contraintes topologiques

Energie de Willmore

Phénomène de concentration

Analyse non-linéaire

Phase-field approximation

Geometric flows

Topology constraints

Willmore energy

Concentration phenomena

Non-linear Analysis

Résumé

La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de l’approximation par méthode de champ de phase de deux flots géométriques, le flot de courbure moyenne et le flot de Willmore. L’analyse d’un modèle particulier d’approximation du flot de Willmore nous amène à proposer un nouveau terme de réaction qui charge les singularités du champ normal associé à une forme en évolution. On en déduit un nouveau modèle d’approximation du flot de courbure moyenne qui empêche les changements de topologie. Ce modèle est en particulier bien adapté à l’approximation numérique de solutions en 3D du problème de Steiner et du problème de Plateau. Dans la deuxième partie de la thèse, on étudie le comportement asymptotique de petites sphères de Willmore plongées dans une variété riemannienne de dimension 3. En utilisant la formulation de l’équation de Willmore donnée par Rivière en un système triple d’EDPs elliptiques, on montre que, dans le cas où seules deux sphères apparaissent dans la décomposition asymptotique, les petites sphères de Willmore se concentrent nécessairement en un point critique de la courbure scalaire de la variété ambiante.

The first part of this thesis is devoted to the theoretical and numerical study of the phase field approximation of two geometric flows, the mean curvature flow and the Willmore flow. The analysis of a particular model of approximation of the Willmore flow leads us to propose a new reaction term which charges the singularities of the normal field associated to an evolving shape. We derive a new model of approximation of the mean curvature flow which prevents topology changes. This model is in particular well adapted to the numerical approximation of 3D solutions of the Steiner problem and the Plateau problem. In the second part of the thesis, we study the asymptotic behavior of small embedded Willmore spheres in a Riemannian manifold of dimension 3. Using the formulation of Willmore equation derived by Rivière in terms of a triple system of elliptic PDEs, we show that, in the case where only two spheres appear in the asymptotic decomposition, small embedded Willmore spheres necessarily concentrate at a critical point of the scalar curvature of the ambient manifold.