Estimation de la vitesse de retour à l'équilibre dans les équations de Fokker-Planck

par Mamadou Ndao

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Otared Kavian et de Stéphane Mischler.

Thèses en préparation à Paris Saclay en cotutelle avec Neant , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec LMV - Laboratoire de Mathématiques de Versailles (laboratoire) et de université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (établissement opérateur d'inscription) .


  • Résumé

    Ce mémoire de thèse est consacré à l'équation de Fokker-Planck partial_ f=∆f+div(Ef). Il est subdivisé en deux parties :une partie linéaire et une partie non linéaire. Dans la partie linéaire on considère un champ de vecteur E(x) dépendant seulement de x. Cette partie est constituée des chapitres 3, 4 et 5. Dans le chapitre 3 on montre que l'opérateur linéaire Lf :=∆ f + div(E f ) est le générateur d'un semi-groupe fortement continu (SL(t))_{t≥0} dans tous les espaces L^p. On y établit également que le semi-groupe (SL(t))_{t≥0} est positif et ultracontractif. Dans le chapitre 4 nous montrons comment est qu'une décomposition adéquate de l'opérateur L permet d'établir certaines propriétés du semi-groupe (SL(t))_{t≥0} notamment sa bornitude. Le chapitre 5 est consacré à l'existence d'un état d'équilibre. De plus on y montre que cet état d'équi- libre est asymptotiquement stable. Dans la partie non linéaire on considère un champ de vecteur de la forme E(x,f) := x+nabla (a*f) ou a et f sont des fonctions assez régulières et * est l'opérateur de convolution. Cette parties est contituée des chapitre 6 et 7. Dans le chapitre 6 nous établissons que pour a appartenant à W^{2,infini}_loc l'équation de Fokker-Planck non linéaire admet une unique solution locale dans l'espace L^2_{K_alpha} (R^d). Dans le dernier chapitre nous montrons que le problème non linéaire admet une solution globale. De plus cette solution dépend continument des données.

  • Titre traduit

    Estimation of the rate of return to equilibrium in Fokker-Planck's equations


  • Résumé

    This thesis is devoted to the Fokker-Planck équation partial_t f =∆f + div(E f). It is divided into two parts. The rst part deals with the linear problem. In this part we consider a vector E(x) depending only on x. It is composed of chapters 3, 4 and 5. In chapter 3 we prove that the linear operator Lf :=∆f + div(Ef ) is an in nitesimal generator of a strong continuous semigroup (SL(t))_{t≥0}. We establish also that (SL(t))_{t≥0} is positive and ultracontractive. In chapter 4 we show how an adequate decomposition of the linear operator L allows us to deduce interesting properties for the semigroup (SL(t))_{t≥0}. Indeed using this decomposition we prove that (SL(t))_{t≥0} is a bounded semigroup. In the last chapter of this part we establish that the linear Fokker-Planck admits a unique steady state. Moreover this stationary solution is asymptotically stable. In the nonlinear part we consider a vector eld of the form E(x, f ) := x +nabla (a *f ), where a and f are regular functions. It is composed of two chapters. In chapter 6 we establish that for a in W^{2,infini}_loc the nonlinear problem has a unique local solution in L^2_{K_alpha}(R^d); . To end this part we prove in chapter 7 that the nonlinear problem has a unique global solution in L^2_k(R^d). This solution depends continuously on the data.