Coloration, ensemble indépendant et structure de graphe

par Lucas Pastor

Projet de thèse en Mathématiques et Informatique

Sous la direction de Frédéric Maffray et de Sylvain Gravier.

Thèses en préparation à Grenoble Alpes , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Laboratoire dSciences pour la Conception, l'Optimisation et la Production de Grenoble (laboratoire) et de Optimisation Combinatoire (OC) (equipe de recherche) depuis le 21-10-2014 .


  • Résumé

    La coloration des sommets d'un graphe (nombre chromatique) est un des principaux problèmes de la théorie des graphes, avec de nombreuses applications dans des domaines divers (ordonnancement, télécommunications, etc). Ce problème est très difficile : il est “NP-complet” même dans des classes d'instances assez réduites. Une des variantes les plus étudiées (et les plus utiles) est le problème de la coloration par listes, où chaque sommet se voit restreint à une liste de couleurs autorisées, les listes pouvant être très différentes d'un sommet à l'autre. On peut aussi considérer le problème de la coloration des arêtes d'un graphe (indice chromatique), et ce problème admet lui aussi une variante par listes. Une conjecture célèbre de Vizing dit que l'indice chromatique par liste d'un graphe est égal à son indice chromatique “normal”. Cette conjecture peut être reformulée en termes de line- graphe (graphe représentatif des arêtes d'un graphe) et donc en un problème de coloration de sommets de ces graphes. Il est connu que tous les line-graphes appartiennent à la classe des graphes sans griffe. Une extension de la conjecture de Vizing aux graphes sans griffe a été proposée par Gravier et Maffray. Le but de cette thèse sera d'étudier ce dernier problème, en particulier pour les graphes parfaits. En effet, pour les graphes parfaits sans griffe on connait un théorème de décomposition en deux classes de bases indécomposables (les graphes “péculiers” et les graphes “élémentaires”) dont la structure est bien comprise. Le schéma de la décomposition est basé sur la clique d'articulation. Le but de la thèse sera d'étudier des problèmes structurelles, des problèmes de coloration ainsi que le comportement du nombre chromatique par liste dans chacune des classes de base et comment il évolue le long du schéma de décomposition par clique d'articulation. Une manière d'aborder ce problème consistera à l'attaquer pour les graphes où la taille maximum de la clique est bornée, en espérant augmenter cette borne autant que possible.

  • Titre traduit

    Coloring, stable set and structure of graphs


  • Résumé

    The coloring of graphs vertices is one of the major problem in graph theory with many applications in various domains (scheduling, telecomunications, etc ...) This problem is very difficult, it's "NP-Complete" even in small instances classes. One of the most studied similar problem (and the most useful) is the problem of list coloring, where each vertex has an authorized list of colors assigned. Those lists can be different from one vertex to another. A famous conjecture due to Vizing says that the list chromatic index of a graph is equal to its chromatic index. This conjecture can be reformulated in terms of line-graph and so is a problem of vertices coloring of a graph. It is known that every line-graphs belongs to the claw-free graph class. One extansion of the Vizing's conjecture to the claw-free class has been proposed by Sylvain Gravier and Frédéric Maffray. The goal of this thesis is to study the last problem, more precisely for the perfect graphs. In fact, for the claw-free perfect graph, we know a decomposition theorem into two distinct class (peculiar graphs and elementary graphs) for which the structure is well known. The decomposition schema is based on clique-cutsets. During this thesis, we want to study structural problems, coloring problems and how the list chromatic number is behaving in those two classes and how its evolving in the clique-cutsets decomposition. One way to approach this problem will be to solve it for graphs where the maximum clique size is bounded and to enlarge this bound as much as possible.