CD Prioritaire - Amélioration des performances des calculs de base de Grobner par l'utilisation d'algorithmes en-ligne.

par Ridha Mathlouthi

Projet de thèse en Informatique

Sous la direction de Laurent Imbert et de Pascal Giorgi.

Thèses en préparation à Montpellier , dans le cadre de École Doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015) , en partenariat avec Laboratoire d'Informatique, Robotique et Micro-électronique de Montpellier (laboratoire) et de Département Informatique (equipe de recherche) depuis le 01-10-2015 .


  • Résumé

    Les systèmes polynomiaux sont un outil omniprésent dans les applications nécessitant la prise en compte de modèles non-linéaires (e.g. cryptographie, robotique, ...). Dans ce cadre, les bases de Grobner se sont révélées un concept fondamental pour la résolution efficace de tels systèmes. Par exemple, elles ont permis en cryptographie de casser le protocole NTRU ou encore de fournir des méthodes d'attaque (cryptanalyse algèbrique) sur des cryptosystèmes centraux (e.g. DES, AES) [1]. Par ailleurs, le calcul en-ligne [2] est un paradigme fondamental de l'informatique théorique. Son développement récent en calcul formel est à l'origine de nombreuses avancées algorithmiques en théorie comme en pratique [3]. Il reste cependant peu exploré dans le cadre des systèmes polynomiaux. L'objectif de cette thèse est d'explorer les méthodes en-ligne pour améliorer les calculs de bases de Gröbner, en s'appuyant sur les axes de travail suivants: - Les algorithmes modernes de bases de Gröbner s'appuient essentiellement sur de l'algèbre linéaire (élimination de Gauss). De nouveaux résultats [5] ont montré que des méthodes probabilistes à base d'oracle et de calcul en-ligne permettaient d'accélérer l'élimination de Gauss dans certain cas (matrice creuse, large déficience de rang). Cette approche semble prometteuse pour améliorer en pratique les phases d'algèbre linéaire dans les calculs de base de Gröbner. - D'un autre point de vue, les algorithmes de bases de Gröbner peuvent être vu comme une succession de divisions de polynômes multivariés. Ainsi, on peut s'intéresser à calculer cette division à l'aide d'algorithmes en-ligne, i.e. avec une connaissance minimale des polynômes impliqués dans la réduction. - Dans le cadre de systèmes polynomiaux à coefficients rationnels, le calcul en-ligne nous a déjà permis d'obtenir des avancées intéressantes sur la gestion de la précision des calculs pour un type particulier de bases de Gröbner [4]. Il semble intéressant de voir l'impact de ces méthodes dans un cadre plus général.

  • Titre traduit

    Improving efficiency of Gröbner basis computation using online algorithms.


  • Résumé

    Polynomial systems are a fundamental tool for applications needing the use of non-linear model, such as in cryptography and in robotics. In this framework, Gröbner bases are the most widely-used advanced technique to handle efficiently the resolution of such systems. For instance, Gröbner basis computation allowed to tackle the hardness of NTRU cryptosystem and provides efficient tool to construct new algebraic attack on major cryptosystem [1]. On another side, the online computation model [2] is a fundamental paradigm from theoretical computer science that allows minimizing dependencies on the inputs while still offering the best asymptotic complexity. While this paradigm is widespread from decades, its use in computer algebra is just emerging and allows advances in both theoretical complexity of algorithms and practicable applications [3]. However, such approaches are not yet exploited within Gröbner basis computation. The goal of the thesis will be to explore online algorithms to improve the efficiency of Gröbner basis computation. Let us detail a few starting points for this thesis: - Modern Gröbner basis algorithms mainly rely on exact linear algebra computation, essentially Gaussian elimination. New results from [5] have shown that probabilistic methods together with online computation allow to improve the complexity of Gaussian elimination in some specific case (e.g. sparse matrices or matrix with large rank defiency). This approach seems a good candidate to build up more efficient Gröbner basis algorithms. - From a different point of view, Gröbner basis algorithm can be seen only as a succession of multivariate polynomial divisions. Hence, one could be interested to perform such division in the online computation model, i.e. with a minimal knowledge of the polynomials involved in the reduction. - When polynomial systems are taken over rational numbers, it has already been shown in [4] that online computation could give an advantage to deal with the precision of the intermediate computation for some specific Gröbner basis. It seems this approach could be extended to more general bases.