Méthodes de réduction de variance pour les dynamiques hors d'équilibre.

par Julien Roussel

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Gabriel Stoltz.


  • Résumé

    L'objectif de cette thèse est d'étudier des techniques de réduction de variance pour le calcul de propriétés moyennes pour des systèmes hors d'équilibre. Les systèmes hors d'équilibre sont caractérisés, d'un point de physique, par l'existence de courant : d'énergie, de particules, de quantité de mouvement, etc, qui créent des corrélations à longue portée. D'un point de vue mathématique, cela correspond à des dynamiques dont le générateur n'est pas autoadjoint sur l'espace des fonctions de carré intégrable par rapport à la mesure invariante. Des quantités d'intérêt pour ces systèmes sont les coefficients de transport, qui mesurent l'intensité des courants en réponse à un forçage extérieur. Cependant, la convergence des estimations numériques de ces coefficients est très lente car les courants à moyenner sont très corrélés en temps. Les techniques usuelles de réduction de variance ne peuvent être appliquées telles qu'elles car la mesure invariante n'est pas connue, et ses changements lorsque l'on modifie la dynamique (projection, modification des termes de dérives, etc) ne sont pas aisés à déterminer. Plusieurs pistes seront étudiées dans cette thèse : - les méthodes de stratification qui consistent à contraindre le système sur des sous-variétés qui feuillettent l'espace. Cette approche permet également de calculer les différences d'énergie libre des systèmes hors d'équilibre. - les méthodes dites de Norton, où les courants sont fixés plutôt que les forçages qui induisent lesdits courants. On étudiera dans quelle mesure cette approche permet de calculer plus efficacement des coefficients de transport. - l'usage de dynamiques synthétiques, qui ont la même réponse linéaire que des dynamiques physiques, mais permettent d'obtenir une convergence plus rapide des coefficients de transport (par exemple parce que le régime de réponse linéaire est valide plus longtemps).

  • Titre traduit

    Variance reduction techniques for nonequilibrium dynamics.


  • Résumé

    The objective of this PhD thesis is to study some techniques of variance reduction for the computation of mean properties for nonequilibrium systems. The nonequilibrium systems are characterized, from a physical viewpoint, by the existence of currents: of energy, particules, momentum, etc, that create long-range correlations. From a mathematical viewpoint, this corresponds to generators that are not selfadjoint.