Martingales à valeurs dans des variétés de valeur terminale donnée

par Jonathan Harter

Projet de thèse en Mathematiques

Sous la direction de Marc Arnaudon.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de DE MATHEMATIQUES ET D'INFORMATIQUE DE BORDEAUX , en partenariat avec IMB Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) depuis le 08-09-2014 .


  • Résumé

    Les martingales sur les variétés ont été définies il y a quelques décennies et sont maintenant des objets bien connus. Elles peuvent être définies comme des itérations de barycentres conditionnels. Des questions très simples restent en suspens. Par exemple, étant donnée une variable aléatoire à valeurs dans une variété complète, et une filtration continue (dont toute martingale réelle possède une version continue), existe-t-il une martingale continue dans cette variété qui a pour valeur terminale donnée cette variable aléatoire ? Sous des hypothèses de géométrie convexe, ces questions ont trouvées des réponses dans les papiers de KENDALL-90, PICARD-91, PICARD-94 DARLING-95, ARNAUDON-97. Mais en existe-t-il une qui minimise l'énergie ? Que dire à propos des semi-martingales de dérivé fixée ? D'autres questions sont naturelles, elles sont reliées à d'autres problèmes intéressants et utiles pour beaucoup d'applications. Les martingales dans les variétés permettent de définir les barycentres associés à une filtration, qui sont parfois plus simples à calculer que les barycentres usuels ou les moyennes, et qui possèdent une propriété d'associativité. Ils sont fortement reliés à la théorie du contrôle, l'optimisation stochastique, et aussi les équations différentielles stochastiques rétrogrades. La résolution du problème avec des moyens géométriques donne des outils pour résoudre des EDSR. Si l'on travaille avec le groupe des difféomorphismes incompressibles sur une variété compacte, de telles semi-martingales à valeur terminale donnée donnent une solution à l'équation de Navier-Stokes en un sens à déterminer. Des questions équivalentes en terme de FBSDE ont été étudiées par CHEN-CRUZEIRO-QIAN-13, CRUZEIRO-SHAMAROVA-09. De plus, en changeant la fonctionnelle énergie, on espère trouver des solutions aux équations en milieu poreux. Voir HU-QIAN-ZHANG-12 pour une approche équivalente avec les FBSDE.


  • Résumé

    Defined several decades ago, martingales in manifolds are very canonical objects. They can be defined as infinite interations of conditional barycenters. About these objects very simple questions are still unresolved. For instance, given a random variable with values in a complete manifold and a continuous filtration (one with respect to which all real-valued martingales admit a continuous version), does there exist a continuous martingale in the manifold with terminal value given by this random variable ? Under convex geometry assumptions, this question has received answers in KENDALL-90, PICARD-91, PICARD-94 DARLING-95, ARNAUDON-97. Does there exist one which minimizes the energy, that is, the L2 norm of the quadratic variation ? What about semi-martingales with prescribed drift and terminal value ? Not only are these questions very natural, they are also related to several other interesting problems and useful for many applications. In particular martingales in manifolds allow to define barycenters associated to filtrations, which are sometimes much easier to compute than usual barycenters or means, and which have an associativity property. They are closely related to control theory, stochastic optimization, as well as backward stochastic differential equations (BSDE). Solving by geometric means the problem of existence and uniqueness of martingale with prescribed terminal value yields new solutions to BSDE. If one works on the group of incompressible diffeomorphisms of a compact manifold, such semi-martingales with prescribed terminal value should lead to a solution of the Navier-Stokes equation in a sense to be determined. Equivalent questions in terms of forward backward stochastic differential equations (FBSDE) have been studied in CHEN-CRUZEIRO-QIAN-13, CRUZEIRO-SHAMAROVA-09. Moreover, by changing the energy functional, one expects to find solutions to porous medium equations. See HU-QIAN-ZHANG-12 for the equivalent approach with FBSDE.