Propriétés arithmétiques et combinatoires de la fonction somme des chiffres

Arithmetical and combinatorial properties of the sum of digits function

• Auteur / Autrice : Karam Aloui
• Direction : Christian Mauduit, Mohamed Mkaouar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université de Sfax. Faculté des sciences. Département de mathématiques
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Hedi Daboussi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Mauduit, Mohamed Mkaouar, Mohamed Hbaib, Hikma Smida
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cecile Dartyge

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse diophantienne

Fonctions arithmétiques

Théorie des nombres

Mots clés libres

Entiers ellipséphiques

Fonction somme des chiffres

Équirépartition modulo 1

Fonctions multiplicatives

Théorème d'Erdős-Kac

Integers with missing digits

Sum of digits function

Equidistribution modulo 1

Multiplicative functions

Theorem of Erdős-Kac

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés arithmétiques et combinatoires de la fonction somme des chiffres. Nous commençons par étudier les sommes d'exponentielles de la forme [∑{n≤x}]exp(2iπ((l/m)Sq(n)+(k/m’)Sq(n+1)+θn)) en vue de montrer un résultat d'équirépartition modulo 1 et un théorème probabiliste d'Erdős-Kac. Ensuite, on va généraliser un problème dû à Gelfond concernant l'étude de la répartition dans les progressions arithmétiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres ellipséphiques. En particulier, on donne un théorème analogue à celui d'Erdős, Mauduit et Sárközy sur l'uniforme répartition des entiers ellipséphiques dans les progressions arithmétiques sous une contrainte sur la somme des chiffres. Enfin, une étude de l'ordre moyen de certaines fonctions arithmétiques soumises à des contraintes digitales est faite en conséquence des travaux de Mkaouar et Wannès.

The aim of this thesis is the study of some arithmetic and combinatoric properties of the sum of digits function. We start by the study of exponential sums of the form [∑{n≤x}]exp(2iπ((l/m)Sq(n)+(k/m’)Sq(n+1)+θn)) in order to establish a result of equidistribution modulo 1 in addition to a probabilistic theorem of the kind Erdős-Kac. Then, we generalize a problem due to Gelfond concerning the distribution in residue classes of the sum of digits function in the case of integers with missing digits. Besides, we give a similar result to that of Erdős, Mauduit and Sárközy on the uniform distribution of integers with missing digits in arithmetic progressions under a constraint on the sum of digits. Finally, a study of the order of magnitude of some arithmetical functions under digital constraints is done as a consequence of the works of Mkaouar and Wannès.