Quelles alternatives pour l'enseignement du calcul algébrique au collège ?

What alternatives for the teaching of algebraic calculus in second grade ?

• Auteur / Autrice : Celine Constantin
• Direction : Pierre Arnoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Teresa Assude
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Grenier-Boley, Jean-Philippe Drouhard, Lalina Coulange, Christian Mauduit
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jerome Proulx, Aline Robert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Didactique

Algèbre

Mots clés libres

Analyse épistémographique

Caractères FUG

Ingénierie didactique

Didactique des mathématiques

Calcul algébrique

Théorie anthropologique du didactique

Epistemographical analysis

FUG aspects

Didactic design

Didactic of mathematics

Algebraic calculus

Anthropological theory of the didactic

Résumé

Cette thèse s’intéresse à l’élaboration d’alternatives pour l’enseignement du calcul algébrique au collège et en particulier de la propriété de distributivité qui joue un rôle central.En appui sur des recherches antérieures en didactique de l’algèbre, nous analysons les spécificités des savoirs à enseigner et enseignés sur le calcul algébrique, au regard de difficultés protomathématiques (Chevallard 1985) prégnantes du côté des élèves. Ceci conduit à appréhender de nouvelles formes de savoirs à enseigner accompagnant les savoirs mathématiques liés aux aspects sémantiques et syntaxiques des écritures symboliques algébriques. La notion de transformation de mouvement (Drouhard 1992) et l’exploration des caractères formalisateur, unificateur et généralisateur (ou FUG, Robert 1998) amène à envisager la distributivité au regard d’un domaine d’étude plus large, à la fois numérique et algébrique. L’étude d’une transposition possible des savoirs à enseigner permet de dégager des conditions et des contraintes pour élaborer une ingénierie didactique. Les résultats d’une expérimentation en classe de 5e (élèves de 12-13 ans) à partir d’analyses a priori et a posteriori, concernent les discours dont les élèves parviennent à s’emparer, justifiant et soutenant leurs techniques de calcul, ainsi que les organisations de connaissances qui émergent. Une nouvelle étude didactique et épistémologique relative à la notion de substitution vient clore la thèse afin de déterminer en quoi elle pourrait fonder un prolongement possible aux enjeux FUG pour l’enseignement de la distributivité et poursuivre l’ingénierie didactique amorcée visant à enseigner le calcul algébrique tout au long du collège.

This thesis seeks to explore alternatives for the teaching of algabraic calculus in second grade, and more specifically of the distributive law that plays a central role.Drawing on prior researches on didactic of algebra, characteristics of the knowledge to be taught and the knowledge taught about algebraic calculus are analyzed towards protomathematics difficulties (Chevallard 1985) constantly arising in students’work. This leads to consider new forms of knowledge, along with mathematical knowledge, that would be linked to semantic and syntactic aspects of symbolic algebraic expressions.Exploring the notion of movement transformation (Drouhard 1992) and the potential of formalizing, unifying, and generalizing (or FUG, Robert 1998), brings out the distributive law in a larger study field both numerical and algebraic.The study of a possible transposition of the knowledge to be taught yields a set of conditions and constraints to design a didactic situation. The results from a first experiment in a 5th grade class (12-13 year-olds) are based on a priori and a posteriori analysis. They focus on the discourses built and used by the students, justifying and supporting their manipulations, along with the knowledge organizations arising out.The last chapter addresses a new didactic and epistemological study of the notion of substitution aiming at discussing its potential to extend the FUG point of view on the teaching of the distributive property, and further on to provide a new perspective of research to carry on with our didactic design to teach algebraic calculus all along secondary school.