Mesures invariantes pour des EDP hamiltoniennes

par Mouhamadou Sy

Projet de thèse en Mathématiques - EM2C

Sous la direction de Nikolay Tzvetkov et de Armen Shirikyan.

Thèses en préparation à Cergy-Pontoise , dans le cadre de ED EM2P - Economie, Management, Mathématiques et Physique , en partenariat avec Analyse Géometrie Modélisation (laboratoire) depuis le 01-10-2014 .


  • Résumé

    La théorie des mesures invariantes pour des EDPs s'est avérée très riche dans l'étude qualitative de ces dernières. Elle fournit des informations sur leur dynamique en temps long, et dans certains cas elle permet d'établir une théorie de Cauchy probabiliste. Deux approches générales ont été mises en évidence pour construire de telles mesures. La première est celle des mesures de type Gibbs, procédant par des approximations fini-dimensionnelles et un passage à la limite thermodynamique. La seconde est basée sur un argument de fluctuation/dissipation et un passage à la limite non visqueuse. La première a été appliquée à l'équation de Benjamin-Ono et a fourni à cette équation une suite de mesures invariantes portées par des espaces de Sobolev de régularité croissante. Une première question de la thèse est de construire une mesure invariante sur l'espace des fonctions infiniment lisses par la méthode fluctuation/dissipation. En deuxième temps, l'équation de Klein-Gordon cubique tri-dimensionnelle est considérée. La question porte sur la construction d'une mesure invariante dans un cadre non radial. Des questions à propos des propriétés qualitatives de ces mesures sont aussi étudiées.

  • Titre traduit

    Invariant measures for Hamiltonian PDE


  • Résumé

    The theory of invariant measures for PDEs turns out to be very rich in the qualitative study of the latters. It provides informations about their large time dynamics, and in some situations it allows to establish a probabilistic Cauchy theory. Two general approaches were developed to construct such measures. The former is the theory of Gibbs type measures. It proceeds by finite-dimensional approximations and a passage to the thermodynamic limit. The second is based on a fluctuation/dissipation argument and a non viscous limit. For the Benjamin-Ono equation, a sequence of invariant Gibbs type measures was constructed, they are supported on Sobolev spaces of increasing regularity. In this thesis, the first question is about construction of an invariant measure on the space of infinitely smooth functions for this equation, with the use of the fluctuation/dissipation method. Secondly, we consider the three-dimensional cubic Klein-Gordon equation and we ask the question of invariant measure in a non radial setting. Questions about qualitative properties of these measures are studied.