Etude de l’opérade Swiss-cheese et applications à la théorie des longs noeuds

par Julien Ducoulombier

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Muriel Livernet.

Thèses en préparation à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) et de Université Paris 13 (établissement de préparation) depuis le 24-07-2012 .


  • Résumé

    L’objectif de ce travail est l’étude de l’opérade Swiss-Cheese SCd qui est une version relative de l’opérade des petits cubes Cd. On montre que les théorèmes classiques dans le cadre des opérades non colorées admettent des analogues dans le cas relatif. Il est ainsi possible d’extraire d’une opérade pointée O (i.e. un opérade colorée sous 0(SC1) ) un couple d’espaces semi-cosimpliciaux (Oc ; Oo) dont les semitotalisations sont faiblement équivalentes à une SC2-algèbre explicite. En particulier, on prouve que le couple (L1 ; n ; Lm; n), composé de l’espace des longs noeuds et de l’espace des longs entrelacs à m brins,est faiblement équivalent à une SC2-algèbre explicite. Dans un second temps, on s’intéresse aux couples d’homologies singulières et d’homologies de Hochschild associés à une paire d’espaces semi-cosimpliciaux provenant d’une opérade pointée. Dans ce contexte, les couples (H (sTot(Oc)) ; H (sTot(Oo))) et (HH (Oc) ; HH (Oo)) possèdent tous deux une structure de H (SC2)-algèbre explicite. On montre alors que le morphisme de Bousfield entre ces deux couples préserve les structures deH (SC2)-algèbres. Cela nous permet de mieux appréhender le couple de suites spectrales de Bousfield calculant (H (sTot(Oc)) ; H (sTot(Oo))). En particulier, on énonce un critère permettant de faire le lien entre le couple d’homologies singulières issu d’une opérade symétrique multiplicative topologique et la page E2 des suites spectrales de Bousfield. La dernière étape de notre étude consiste à généraliser les précédents résultats. Pour cela, on se base nsur une conjecture de Dwyer et Hess qui vise à identifier une Cd+1-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades Cd ! O. En admettant ce résultat, on introduit une opérade colorée CCd telle que l’on peut extraire une SCd+1-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades colorées CCd ! O. On montre ainsi que le couple d’espaces (Ld1 ; n ; T1Imm(k)(Rd ; Rn)), composé de l’espace des longs noeuds en dimension d et de l’approximation polynomiale des (k)-immersions, est faiblement équivalent à une SCd+1-algèbre explicite.


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