Étude de l'existence de solutions faibles d'énergie infinie pour les équations de Navier-Stokes incompressibles

Study on existence of infinite energy weak solutions to the incompressible Navier-Stokes equations

• Auteur / Autrice : Pedro Gabriel Fernandez-Dalgo
• Direction : Pierre Gilles Lemarié
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 14/06/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Évry (Evry, Essonne) - Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Evry / LaMME
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université d'Évry-Val-d'Essonne (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Valeria Banica
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Danchin, Marco Cannone, Isabelle Gallagher, Stéphane Menozzi, Christophe Prange
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Raphaël Danchin, Marco Cannone

Mots clés

Mots clés contrôlés

Énergie

Magnétohydrodynamique

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Solutions discrètement autosimilaires

Solutions axialement symétriques

Discretely selfsimilar solutions

Axially symmetric solutions

Résumé

Dans cette thèse, on étudie des estimations d'énergie pour les équations de Navier–Stokes, avec des poids en variable d'espace. L'analyse de ces estimées se fait dans un contexte suffisamment robuste pour être appliquées à la construction de solutions discrètement auto-similaires pour des données initiales satisfaisant la faible condition d'être localement de carré intégrable. Ces idées sont également appliquées pour construire des solutions régulières axialement symétriques sans tourbillon pour des données initiales qui appartiennent ainsi que leur gradient à un espace L^2 à poids. Un exemple concret est donné en considérant l'espace L^2((1 + r^2)^{-gamma/2} dx), où r=sqrt{x_1^2+x_2^2} et gamma in (0, 2).

In this thesis, energy estimates for the Navier--Stokes equations are studied, in a sufficiently robust context to be applied to the construction of discretely self-similar solutions for initial data satisfying the weak condition to be locally square integrable.These ideas also are appliedto construct regular axially symmetrical solutions without swirl, for initial data which together with his gradient belong to a weighted L ^ 2 space, where the weight allows to consider functions which tend to infinity in a piece of the space mathbb {R} ^ 3. More specifically an example is given by consider an axisymmetric initial velocity without swirl such that both the initial velocity and its vorticity belong to L^2 ( (1+ r^2)^{-{gamma}/{2}} dx ), with r= sqrt{x_1^2 + x_2^2} and gamma in (0, 2).