Asymptotic study of covariance operator of fractional processes : analytic approach with applications

par Dmytro Marushkevych

Thèse de doctorat en Mathématiques

Soutenue le 22-05-2019

à Le Mans , dans le cadre de École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) , en partenariat avec Laboratoire manceau de mathématiques (laboratoire) et de Laboratoire Manceau de Mathématiques / LMM (laboratoire) .

  • Titre traduit

    Études asymptotiques de l’opérateur de covariance pour les processus fractionnaires : approche analytique avec applications


  • Résumé

    Les problèmes aux valeurs et fonctions propres surviennent fréquemment dans la théorie et dans les applications des processus stochastiques. Cependant quelques-uns seulement admettent une solution explicite; la résolution est alors généralement obtenue par la théorie généralisée de Sturm-Liouville pour les opérateurs différentiels. Les problèmes plus généraux ne peuvent pas être résolus sous une forme fermée et le sujet de cette thèse est l'analyse spectrale asymptotique des processus gaussiens fractionnaires et ses applications. Dans la première partie, nous développons une méthodologie pour l'analyse spectrale des opérateurs de covariance de type fractionnaire, correspondant à une famille importante de processus, incluant le processus fractionnaire d'Ornstein-Uhlenbeck, le mouvement brownien fractionnaire intégré et le mouvement brownien fractionnaire mixte. Nous obtenons des approximations asymptotiques du second ordre pour les valeurs propres et les fonctions propres. Au chapitre 2, nous considérons le problème aux valeurs et fonctions propres pour l'opérateur de covariance des ponts gaussiens. Nous montrons comment l'asymptotique spectrale d'un pont peut être dérivée de celle de son processus de base, en prenant comme exemple le cas du pont brownien fractionnaire. Dans la dernière partie, nous considérons trois applications représentatives de la théorie développée: le problème de filtrage des signaux gaussiens fractionnaires dans le bruit blanc, le problème de grande déviation pour le processus d'Ornstein-Uhlenbeck gouverné par un mouvement brownien fractionnaire mixte et probabilités des petites boules pour les processus gaussiens fractionnaires.


  • Résumé

    Eigenproblems frequently arise in theory and applications of stochastic processes, but only a few have explicit solutions. Those which do are usually solved by reduction to the generalized Sturm-Liouville theory for differential operators.The more general eigenproblems are not solvable in closed form and the subject of this thesis is the asymptotic spectral analysis of the fractional Gaussian processes and its applications.In the first part, we develop methodology for the spectral analysis of the fractional type covariance operators, corresponding to an important family of processes that includes the fractional Ornstein-Uhlenbeck process, the integrated fractional Brownian motion and the mixed fractional Brownian motion. We obtain accurate second order asymptotic approximations for both the eigenvalues and the eigenfunctions. In Chapter 2 we consider the covariance eigenproblem for Gaussian bridges. We show how the spectral asymptotics of a bridge can bederived from that of its base process, considering, as an example, the case of the fractional Brownian bridge. In the final part we consider three representative applications of the developed theory: filtering problem of fractional Gaussian signals in white noise, large deviation properties of the maximum likelihood drift parameter estimator for the Ornstein-Uhlenbeck process driven by mixed fractional Brownian motion and small ball probabilities for the fractional Gaussian processes.


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