Uniformisation locale simultanée par monomialisation d'éléments clefs
Auteur / Autrice : | Julie Decaup |
Direction : | Mark Spivakovsky |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques fondamentales |
Date : | Soutenance le 06/07/2018 |
Etablissement(s) : | Toulouse 3 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....) |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Le théorème d'uniformisation locale est un résultat important en théorie des singularités. Connu en caractéristique nulle, il reste ouvert en caractéristique positive. Dans cette thèse, nous donnons une version simultanée de ce théorème en caractéristique nulle. On considère R un anneau local régulier muni d'une valuation centrée en son idéal maximal. Nous démontrons l'uniformisation locale par monomialisation simultanée des éléments de R. La preuve apportée ici est nouvelle et riche de trois choses : tout d'abord, nous monomialisons tous les éléments avec la même suite d'éclatements. De plus, cette suite est explicite et nous connaissons les coordonnées pas à pas. Pour finir, nous ne faisons aucune supposition sur le rang de la valuation. Afin de faire cela, nous utilisons une théorie intimement liée à la théorie des valuations : celle des éléments clefs, une généralisation des polynômes clefs, qui est détaillée dans le deuxième chapitre du manuscrit. On y donne une nouvelle définition des polynômes clefs et on étudie leur rapport précis avec les polynômes clefs de MacLane et Vaquié. Enfin, le dernier chapitre est dédié à un cadre plus général : celui des anneaux locaux d'équicaractéristique nulle quasi-excellents intègres. Dans ce cas, la théorie des éléments clefs, bien que nécessaire, n'est plus suffisante. Il nous faudra utiliser l'idéal premier implicite H d'un tel anneau R et montrer que l'on peut réduire l'étude à la régularisation du quotient du complété de R par H.