Contributions au programme Langlands

Contributions to the Langlands program

• Auteur / Autrice : Ildar Gaisin
• Direction : Jean-François Dat, Laurent Fargues
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/09/2017
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Boyer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ariane Mézard, Benjamin Schraen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tobias Schmidt

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie p-adique

Programme de Langlands

Mots clés libres

Espaces

Rapoport-Zink

Programme

Langlands

Rapoport-Zink spaces

P-Adic Langlands

Langlands

Résumé

Cette thèse traite de deux problèmes dans le cadre du programme de Langlands. Pour le premier problème, dans la situation de GL2 et un cocaractère non minuscule, nous fournissons un contre-exemple (sous certaines hypothèses naturelles) à la conjecture de Rapoport-Zink, communiquée par Laurent Fargues. Le deuxième problème concerne un résultat dans le programme de Langlands p-adique. Soit A une algèbre Qp-affinoïde, au sens de Tate. Nous développons une théorie d’un espace localement convexe en A-modules parallèle au traitement dans le cas d’un corps par Schneider et Teitelbaum. Nous montrons qu’il existe une application d’intégration liant une catégorie de représentations localement analytiques en A -modules et des modules de distribution séparés relatif. Il existe une théorie de cohomologie localement analytique pour ces objets et une version du Lemme de Shapiro. Dans le cas d’un corps, ceci a été substantiellement développé par Kohlhaase. Comme une application, nous proposons une correspondance de Langlands p-adique en families : Pour un (ϕ,Γ)-module trianguline et régulière de dimension 2 sur l’anneau de Robba relatif RA nous construisons une GL2(Qp)-représentation localement analytique en A-modules. Il s’agit d’un travail en commun avec Joaquin Rodrigues.

This thesis deals with two problems within the Langlands program. For the first problem, inthesituationofGL2 andanon-minuscule cocharacter, we provide a counter-example (under some natural assumptions) to the Rapoport-Zink conjecture, communicated to us by Laurent Fargues. The second problem deals with a result in the p-adic Langlands program. Let A be a Qp-affinoid algebra, in the sense of Tate. We develop a theory of locallyconvex A- modules parallel to the treatment in the case of a field by Schneider and Teitelbaum. We prove that there is an integration map linking a category of locally analytic representations in A-modules and separately continuous relative distribution modules. There is a suitable theory of locally analytic cohomology for these objects and a version of Shapiro’s Lemma. In the case of a field this has been substantially developed by Kohlhaase. As an application we propose a p-adic Langlands correspondence in families: For a regular trianguline (ϕ,Γ)-module of dimension 2 over the relative Robba ring RA we construct a locally analytic GL2(Qp)-representation in A-modules. This is joint work with Joaquin Rodrigues.