Une description fonctorielle des K-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires

A functorial description of the Morava K-theories of elementary abelian 2-groups

• Auteur / Autrice : Le Chi Quyet Nguyen
• Direction : Geoffrey Powell
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Topologie algébrique
• Date : Soutenance le 07/07/2017
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
• Jury : Président / Présidente : Muriel Livernet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vladimir Roubtsov, Christine Vespa, Lionel Schwartz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Minh Ha Le, Antoine Touzé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie algébrique

Hopf, Algèbres de

Foncteurs, Théorie des

K-théorie

Mots clés libres

K-Théorie de Morava

Catégorie des foncteurs

Module instable

Algèbre de Hopf instable

Anneau de Hopf

Morava K-Theory

Functor category

Unstable module

Unstable Hopf algebra

Hopf ring

Résumé

Le but de cette thèse est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des K-théories de Morava modulo 2 des 2-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs covariants V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp}) pour le premier p=2 et n un entier positif. Le cas n=1, qui résulte directement du travail d'Atiyah sur la K-théorie topologique, nous donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas n>1, où les foncteurs mentionnés ci-dessus s'avèrent être analytiques.La théorie de Henn-Lannes-Schwartz fournit une correspondance entre les foncteurs analytiques et les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous déterminons le module instable correspondant au foncteur analytique V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp}), en étudiant la relation entre ce foncteur et la structure d'anneau de Hopf de l'homologie de l'omega-spectre associé à la théorie K(2).

The aim of this PhD thesis is to study, from a functorial point of view, the mod 2 Morava K-theories of elementary abelian 2-groups. Namely, we study the covariant functors V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp}) for the prime p=2 and n a positive integer. The case n=1, which follows directly from the work of Atiyah on topological K-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case n>1, where the above-mentioned functors are analytic. The theory of Henn-Lannes-Schwartz provides a correspondence between analytic functors and unstable modules over the Steenrod algebra. We determine the unstable module corresponding to the analytic functor V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp}), by studying the relation between this functor and the Hopf ring structure of the homology of the omega-spectrum associated to the theory K(2).