Quelques résultats sur les équations rétrogrades et équations aux dérivées partielles stochastiques avec singularités.

Some results on backward equations and stochastic partial differential equations with singularities

• Auteur / Autrice : Lambert Piozin
• Direction : Anis Matoussi, Alexandre, François, Roland Popier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/06/2015
• Etablissement(s) : Le Mans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire manceau de mathématiques - Laboratoire Manceau de Mathématiques / LMM

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solutions de viscosité

Équations intégrodifférentielles

Équations différentielles stochastiques

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Mots clés libres

Equations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre

Jeux de Dynkin avec incertitude

Analyse stochastique quasi-sûre

Equations différentielles doublement stochastiques rétrogrades

Equations aux dérivées partielles stochastiques

Solutions de viscosité

Equations différentielles stochastiques rétrogrades avec sauts

Equations intégro-différentielles

Second order backward stochastic differential equations

Dynkin games with uncertainty

Quasi-sure stochastic analysis

Backward doubly stochastic differential equations

Stochastic partial differential equations

Viscosity solutions

Backward stochastic differential equations with jumps

Partial-integral differential equations

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section.

This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options.