Algèbres de Jordan euclidiennes et problèmes variationels avec contraintes coniques

Euclidean Jordan algebras and variational problems under conic constraints

• Auteur / Autrice : David Sossa
• Direction : Alberto Seeger, Héctor Ramírez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/09/2014
• Etablissement(s) : Avignon en cotutelle avec Universidad de Chile
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale 536 « Sciences et agrosciences » (Avignon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Avignon / LMA
• Jury : Président / Présidente : Aris Daniilidis
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Héctor Ramírez, Aris Daniilidis, Pedro Gajardo, The Luc Dinh, Michel Volle
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Aris Daniilidis

Mots clés

Mots clés contrôlés

Loewner, Charles (1893-1968)

Espaces symétriques

Cônes (théorie des opérateurs)

Jordan, Algèbres de

Mots clés libres

Algèbres de Jordan euclidiennes

Problèmes variationnels

Cônes convexes fermés

Analyse angulaire

Chemin central

Variational problems

Closed convex cones

Euclidean Jordan algebras

Central path

Angular analysis

Résumé

Cette thèse concerne quatre thèmes apparemment différents, mais en fait intimement liés : problèmes variationnels sur les algèbres de Jordan euclidiennes, problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques, analyse angulaire entre deux cônes convexes fermés et analyse du chemin central en programmation conique symétrique.Dans la première partie de ce travail, le concept de “commutation au sens opérationnel” dans les algèbres de Jordan euclidiennes est étudié en fournissant un principe de commutation pour problèmes variationnels avec données spectrales.Dans la deuxième partie, nous abordons l’analyse et la résolution numérique d’une large classe de problèmes de complémentarité sur l’espace des matrices symétriques. Les conditions de complémentarité sont exprimées en termes de l’ordre de Loewner ou, plus généralement, en termes d’un cône du type Loewnerien.La troisième partie de ce travail est une tentative de construction d’une théorie générale des angles critiques pour une paire de cônes convexes fermés. L’analyse angulaire pour une paire de cônes spécialement structurés est également considérée. Par-exemple, nous travaillons avec des sous-espaces linéaires, des cônes polyédriques, des cônes de révolution, des cônes “topheavy” et des cônes de matrices.La dernière partie de ce travail étudie la convergence et le comportement asymptotique du chemin central en programmation conique symétrique. Ceci est fait en utilisant des techniques propres aux algèbres de Jordan.

This thesis deals with four different but interrelated topics: variational problems on Euclidean Jordan algebras, complementarity problems on the space of symmetric matrices, angular analysis between two closed convex cones and the central path for symmetric cone linear programming.In the first part of this work we study the concept of “operator commutation” in Euclidean Jordan algebras by providing a commutation principle for variational problems involving spectral data.Our main concern of the second part is the analysis and numerical resolution of a broad class of complementarity problems on spaces of symmetric matrices. The complementarity conditions are expressed in terms of the Loewner ordering or, more generally, with respect to a dual pair of Loewnerian cones.The third part of this work is an attempt to build a general theory of critical angles for a pair of closed convex cones. The angular analysis for a pair of specially structured cones is also covered. For instance, we work with linear subspaces, polyhedral cones, revolution cones, topheavy cones and cones of matrices.The last part of this work focuses on the convergence and the limiting behavior of the central path in symmetric cone linear programming. This is done by using Jordan-algebra techniques.