Monotonie et différentiabilité de la vitesse de la marche aléatoire excitée

Monotonicity and differentiability of the speed of the excited random walk

• Auteur / Autrice : Cong Dan Pham
• Direction : Pierre Mathieu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/06/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Ofer Zeitouni
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nadine Guillotin-Plantard, Bruno Schapira, Fabienne Castell
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean Bérard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Loi des grands nombres

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Monotonie de la vitesse

Marche aléatoire excitée

Les cookies aléatoire

Monotonicity of the speed

Excited random walk

The random cookies

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la monotonie de la vitesse de la marche aléatoire excitée (MAE) avec biais be∈[0,1] dans la première direction e₁. Nous présentons une nouvelle preuve de la monotonie de la vitesse pour des grandes dimensions d≥d₀ et pour le cas où le paramètre be est petit quand d≥8. Ensuite, nous considérons les marches aléatoires avec plusieurs cookies aléatoires. La monotonie de la vitesse est ausi prouvée pour les cas particuliers par exemple des dimensions sont grandes, le paramètre de dérive be est petit ou le nombre de cookies est grand. Ce sont les cas où la marche aléatoire est proche à la marche aléatoire simple. Pour l'existence de la vitesse, nous avons montré la loi des grands nombres pour un cas particulier du cookie aléatoire stationaire, mais nous n'arrivons pas encore pour le cas stationaire. Sur la monotonie, nous avons aussi vérifié que le nombre de points visités par la marche aléatoire simple avec biais be est croissant.Finalement, une question très interessant: la monotonie de la vitesse, est-elle vraie pour la MAE pour les petites dimensions 2≤d≤8. Pour cette motivation, nous avons prouvé que la vitesse est indéfiniment différentiable pour be≻0. Au point critique 0, nous avons prouvé que la dérivée de la vitesse existe et égale 0 pour d=2, existe et est positive pour d≥4. Mais nous ne savons pas encore si la dérivée de l'ordre 2 en point 0 existe ou au moin la dérivée est continue en 0 pour prouver la monotonie de la vitesse au voisinage de 0?

In this thesis, we are interested in the monotonicity of the speed of the excited random walk (ERW) with bias be∈[0,1] in the first direction e₁. The speed is defined as the limit obtained by the law of large number for the horizontal component. The speed depend on the bias be. We present a new proof of the monotonicity of the speed for the dimension d≥d₀, where d₀ is large enough, or for the parameter be is small when d≥8. After that, we consider the random walk with multi-random cookies. The monotonicity of the speed is also proved for some particular cas, for exemple when the dimension is high, or the parameter drift is small, or the number of cookies is large. These are the cas where the walk is near the simple random walk. For the existence of the speed, we also proved the law of large number for a particular cas of stationary cookie but we haven't yet gotten the cas stationary. On the monotonicity, we also proved the rang of the simple random walk with drift be is increasing in the drift. Finally, a question very interesting: the monotonicity of the speed of ERW is true for the small dimension 2≤d≤8, isn't it? For this motivation, we proved the speed is infinitly differentiable for all be≻0. At the critical point 0, we also proved the derivative of the speed at 0 exists and equals 0 for d=2, exists and is positive for d≥4. But we haven't yet known if the derivative of order 2 at 0 exists or at least the derivative is continuous at 0 to prove the monotonicity of the speed in a neighbor of 0.