Contributions to stochastic dependance modeling

• Auteur / Autrice : Régis Lebrun
• Direction : Josselin Garnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation, Méthodes de

Transformations (mathématiques)

Dépendance (statistique)

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la modélisation de la dépendance stochastique entre composantes d'un vecteur aléatoire sous l'angle des copules. La première partie des travaux consiste en une exploration numérique des notions de copule et de mesure de dépendance stochastique dans le contexte de la modélisation des incertitudes en simulation numérique. La seconde partie des travaux porte sur l'étude des transformations de Nataf et de Rosenblatt. Nous montrons que la transformation de Nataf consiste à supposer que le vecteur aléatoire est muni d'une copule Gaussienne. Nous généralisons cette transformation à une distribution absolument continue à copule elliptique quelconque. Nous montrons également l'équivalence entre les transformations de Nataf et de Rosenblatt dans le cas d'une copule Gaussienne. La troisième partie étudie la notion de dépendance stochastique sous contrainte. Nous caractérisons les lois jointes de statistiques d'ordre continues en termes de lois marginales et de copules, et nous proposons une nouvelle famille de copules adaptée à cette modélisation. Nous caractérisons l'existence et l'unicité d'un élément maximal dans cette famille. La quatrième partie s'intéresse aux lois multivariées discrètes, pour lesquelles la notion de copule n'est plus en bijection avec celle de fonction de répartition jointe. Nous établissons un algorithme innovant pour le calcul de probabilités rectangulaires pour une large classe de tels modèles, surclassant les meilleurs algorithmes disponibles tant en termes de précision numérique que de temps de calcul et d'occupation mémoire.

In this thesis, we study the modeling of stochastic dependance for random vectors from the copula viewpoint. The first part is a numerical exploration of the notions of copulas and dependence measures in the context of uncertainty modeling for numerical simulation. The second part focus on the Nataf and Rosenblatt transformations. We show that the Nataf transformation reduces to an hypothesis of Gaussian copula for the random vector, which allows us to generalize this transformation to any absolutely continuous distribution with arbitrary elliptical copula. In the Gaussian case, we show the equality between the Nataf and Rosenblatt transformations. The third part is dedicated to dependence modeling under constraint. We characterize the joint distribution of order statistics in terms of marginal distributions and copulas, and we construct a new family of copulas dedicated to this setting. We show the existence and uniqueness of a maximal element in this family. The fourth part focus on discrète models, for which their is no one-to-one relation between joint distribution functions and copulas. We propose an innovative algorithm to compute rectangular probabilities for a large class of such distributions, which is much faster, more accurate and less memory consuming than any other existing algorithms.