Un modèle de Markov caché en assurance et estimation de frontière et de point terminal

A hidden Markov model in insurance and endpoint and frontier estimation

• Auteur / Autrice : Gilles Claude Stupfler
• Direction : Stéphane Girard, Armelle Guillou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Strasbourg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Moments, Méthodes des (statistique)

Estimation, Théorie de l'

Markov, Processus de

Algorithmes

Mots clés libres

Modèle de Markov caché

Résumé

Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans une première partie, on introduit et on étudie un nouveau processus de pertes en assurance : c'est un triplet (J, N, S) où (J, N) est un processus de Poisson à modulation markovienne et S est un processus dont toutes les composantes sont des fonctions en escalier, croissantes en temps. Le processus S est supposé à accroissements indépendants conditionnellement au processus (J, N). En faisant une hypothèse paramétrique sur la loi de ses sauts, on démontre que l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle est consistant. On donne un algorithme EM permettant de calculer en pratique cet estimateur : le procédé ainsi développé est utilisé sur des données réelles en assurance et ses performances sont évaluées sur simulations. Dans une seconde partie, on s'intéresse au problème de l'estimation du point terminal, supposé fini, d'une fonction de répartition F : étant donné un échantillon de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de fonction de répartition F, on construit un estimateur du point terminal à droite de F en utilisant une méthode des moments d'ordre élevé. L'étude est scindée en deux cas : dans un premier temps, on suppose que les variables sont positives, puis on généralise la méthode au cas où elles sont de signe quelconque en proposant un autre estimateur. On étudie les propriétés asymptotiques de nos estimateurs, et leurs performances sont examinées sur simulations. On s'inspire ensuite des techniques développées pour construire un estimateur de la frontière du support d'un couple aléatoire. On étudie ses propriétés asymptotiques, et on le compare à des estimateurs classiques dans ce cadre.

This thesis is divided into two parts. We first focus on introducing a new model for loss processes in insurance: it is a process (J, N, S) where (J, N) is a Markov-modulated Poisson process and S is a process whose components are piecewise constant, nondecreasing processes. The increments of S are assumed to be conditionally independent given (J, N). Assuming further that the distribution of the jumps of S belongs to some parametric family, it is shown that the maximum likelihood estimator (MLE) of the parameters of this model is strongly consistent. An EM algorithm is given to help compute the MLE in practice. The method is used on real insurance data and its performances are examined on some finite sample situations. In an independent second part, the extreme-value theory problem of estimating the (finite) right endpoint of a cumulative distribution function F is considered : given a sample of independent copies of a random variable X with distribution function F, an estimator of the right endpoint of F is designed, using a high order moments method. We first consider the case when X is nonnegative, and the method is then generalised to the case when X is an arbitrary random variable with finite right endpoint by introducing another estimator. The asymptotic properties of both estimators are studied, and their performances are examined on some simulations. Based upon that work, an estimator of the frontier of the support of a random pair is constructed. Its asymptotic properties are discussed, and the method is compared to other classical methods in this framework.