Homogenization of kinetic models in extended phase space

• Auteur / Autrice : Etienne Bernard
• Direction : Claude Bardos, François Golse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Équations cinétiques

Théorie du transport

Mots clés libres

Equation de Boltzmann linéaire

Résumé

Cette thèse porte sur certaines questions d'homogénéisation de l'équation de Boltzmann linéaire dans l'espace euclidien RN avec une configuration périodique de sites absorbants. Nous montrons dans un premier travail que la masse totale de la solution est en O(e^{-a t}) avec un a>0. Autrement dit, le processus collisionnel de l'équation de Boltzmann augmente de façon importante l'effet des sites absorbants. Dans le deuxième chapitre, nous précisions la majoration obtenue plus haut en donnant un équivalent asymptotique dans la limite homogénéisée. De plus nous établissons que la solution de l'équation de Boltzmann linéaire est pilotée dans la limite d'homogénéisation par une équation cinétique dans un espace des phases élargi faisant intervenir une variable de temps additionnelle — le temps écoulé depuis la dernière discontinuité en vitesse du processus de transport. Nous montrons aussi que dans la limite d'homogénéisation la masse totale est pilotée par la solution d'une équation du renouvellement. Le troisième chapitre porte sur l'approximation par la diffusion du modèle cinétique dans l'espace des phases étendu établi dans le chapitre précédent. Le quatrième chapitre revient sur l'homogénéisation de l'équation de Boltzmann linéaire dans le cas multicinétique où nous faisons appel à des résultats plus récents sur les systèmes d'équations de renouvellement. Le cinquième et dernier chapitre montre que l'idée de modèles cinétiques dans un espace des phases élargi conduit à une formulation très simple de l'homogénéisation des opacités en transfert radiatif.

This thesis focuses on issues of homogenization of the linear Boltzmann equation in Euclidean space RN with a periodic distribution of absorbing sites. We first show that the total mass of the solution is O (eA{-a t}) with a> 0. In other words, the transport process involved in the linear Boltzmann equation significantly increases the effect of absorbing sites. In the second chapter, we improve the estimation established above by giving an asymptotic equivalent in the homogenized limit. In addition we show that the solution of the linear Boltzmann équation is controlled within the limit of homogenization by a kinetic equation in an extended phase space involving an additional time variable — the time elapsed since the last discontinuity speed of the transport process. We also show that the total mass of homogenization is controlled by the solution of a renewal equation. The third chapter focuses on the diffusion approximation of the kinetic model in the extended phase space established in the previous chapter. The fourth chapter discusses the homogenization of the linear Boltzmann equation in the nonmonokinetic case where we use more recent results on Systems of renewal equation. The fifth and last chapter shows that the idea of kinetic models in an extended phase space leads to a simple «formulation of the homogenization of opacities in radiative transfer.