Méthodes variationnelles : Applications à l'analyse d'image et au modèle de Frenkel-Kontorova

Variational methods : Applications to image analysis and to Frenkel-Kontorova model

• Auteur / Autrice : Samar Issa
• Direction : Abdallah El Hamidi, Mustapha Jazar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/12/2011
• Etablissement(s) : La Rochelle en cotutelle avec Université Libanaise (Liban)
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences et ingénierie pour l'information
• Jury : Président / Présidente : Régis Monneau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Berthier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gilles Aubert, Vicentiu Radulescu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Traitement d'images

Calcul des variations

Mots clés libres

Calcul variationnel

Traitement d'image

Espace BV

Espace d'Orlicz

Traveling wave

Frenkel Kontarova modèle

Variational method

Image analysis

BV space

Orlicz space

Traveling wave

Frenkel Kontorava model

Résumé

Cette thèse est décomposée en deux parties. La première est consacrée à l'étude de la restauration d'image et la seconde partie est consacrée à l'étude d'un modèle de Frenkel-Kontorova par des méthodes issues du calcul variationnel et des équations aux dérivées partielles. Au chapitre 1, nous présentons les questions essentielles que nous traiterons dans cette thèse, puis on fait des rappels sur les définitions et quelques propriétés d'espace des fonctions à variations bornées BV , l'espace d'Orlicz et le modèle de Frenkel-Kontorova. Au chapitre 2, nous montrons que les problèmes de minimisation non convexe (restauration d'image) contenant des termes de régularisation sous-linéaires sont mal posés. Au chapitre 3, nous étudions un modèle de restauration avec un terme de régularisation à croissance non standard, proposé par Blomgren et al. : le module du gradient est élevé a une puissance qui dépend elle même du gradient. On montre qu'elle est semi-continue inférieurement pour la topologie faible d'un certain espace d'Orlicz-Sobolev qui lui est associé, ce qui permet un résultat d'existence de la solution. Au chapitre 4, nous étudions un modèle de Frenkel-Kontorova, dont on montre l'existence d'au moins une solution de type travelling wave, u.

This thesis is divided into two parts. The first is devoted to the study of image restorationand the second part is devoted to the study of a Frenkel-Kontorova model using methodsfrom the calculus of variations and partial differential equations. In chapter 1, we presentthe key issues we will discuss in this thesis, and recal the denitions and some properties ofspaces of functions of bounded variations BV , Orlicz Sobolev spaces and Frenkel-Kontorovamodel results on image analysis. In chapter 2, we show that the non-convex minimizationproblems (restoration image) involving sublinear regularizing terms are ill-posed. In chapter3, we study a model of restoration with nonstandard increasing regularizing terms,proposedby Blomgren. We show that is lower semi-continuous in the weak topologie of some Sobolev-Orlicz space associated with it, which allows existence result of the solution. In Chaptre 4, we study a Frenkel-Kontorova model, that we show existence of at least a traveling wave type solution, u.