Etude de quelques méthodes de sous-espaces de Krylov par blocs

Study of some block Krylov subspace methods

• Auteur / Autrice : Lakhdar Elbouyahyaoui
• Direction : Jilali Abouir, Abderrahim Messaoudi, Hassane Sadok
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées aux sciences de l'ingénieur
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Université Hassan II (Casablanca, Maroc)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire Modélisation, Analyse numérique, Calcul scientifique (Mohammedia, Maroc)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Hassan II. Faculté des sciences et techniques (Mohammedia, Maroc)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Calcul des résidus

Systèmes linéaires -- Solutions numériques

GMRES (mathématiques)

Mots clés libres

Sous-espaces de Krylov

Méthode d'Arnoldi par blocs

Méthodes de Krylov

Polynômes minimaux

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les méthodes des sous-espaces de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires creux et de grande taille. Plus particulièrement, on s’intéresse à la méthode du GMRES (standard et par blocs). Cette méthode utilise le processus d’Arnoldi pour générer une base orthonormale des sous-espaces de Krylov et elle fait introduire un ensemble de nouvelles propriétés algébriques lors de la recherche d’une solution du système à résoudre. Dans un premier temps, nous avons considéré le cas de la méthode du GMRES standard, nous avons exprimé les résidus rk et les vecteurs vk de la base générée par le processus d’Arnoldi sous forme de polynômes. Ainsi, et en utilisant les propriétés classiques d’algèbre linéaire et les compléments de Schur, nous avons donné de nouveaux résultats caractérisant les racines de ces polynômes en fonction des valeurs propres des matrices de Hessenberg obtenues. Des algorithmes sont aussi présentés pour calculer ces polynômes ainsi que les polynômes minimaux. Dans un deuxième temps, on s’est intéressé au cas par blocs. Nous avons donné des expressions récursives vérifiées par les résidus Rk obtenus par la méthode du GMRES par blocs, ceci nous a permis de calculer et d’analyser les polynômes résiduels associés. Ainsi, en utilisant la notion de déterminant et les compléments de Schur consécutifs nous avons énoncé de nombreuses propriétés concernant les matrices et les polynômes résiduels obtenus. Avec ces propriétés, on a évoqué le problème de la recherche des valeurs et vecteurs propres, où on a établi de nouveaux résultats caractérisant l’ensemble des valeurs propres obtenues soit par les méthodes standards ou les méthodes par blocs. On s’est intéressé plus particulièrement au cas le plus simple, celui où la matrice A est diagonalisable, on a pu montré que les méthodes par blocs présentent l’avantage de mieux s’adapter au cas de la recherche des valeurs propres multiples. Numériquement, nous avons proposé une nouvelle implémentation de la méthode du GMRES par blocs pour la résolution d’un système linéaire avec des seconds membres multiples. Cette implémentation repose sur le processus d’Arnoldi par blocs et utilise la structure particulière de la matrice de Hessenberg supérieure pour la minimisation de la norme du résidu et ce, sans utiliser la décomposition QR de cette matrice.

In this thesis we study Krylov subspaces methods to solve large scale hollow linear systems. Particularly, we are interested in GMRES method for the standard as well as the blocs case. This method uses Arnoldi process to generate an orthonormal base of Krylov subspaces and introduces a set of new algebraic properties while searching for the solution of the studied system. First of all, we have considered the case of the standard GMRES method, we have explaines the residuals rk and the vectors vk of the base generated by Arnoldi process in the form of polynomials A for r0. By using the classical properties of linear algebra ans Schur complements, we gave new results characterizing the roots of these polynomials witch depends on the eigenvalues of Hessenberg matrices. Algorithms are also presented to calculate these polynomials as well as the minimal polynomials. In the second part, we are interested in the blocs case. We have given the recursive expressions checked by the residuals Rk obtained by the block GMRES method, what enabled us to calculate and to analyze the associated residual polynomials. Thus, by using consecutively the determinant concept and Schur complements we have stated several properties concerning the matrices and the residual polynomials. With this properties, we have evoked the problem of the research of the values and clean vectors, then we have established new results characterizing the set of clean vectors obtained either by the standard methods or the block methods per. Our interest were particularly about the simplest case, where the matrix A is diagonalisable, we have demonstrated that the block methods present the advantage of better adaptation with the case of the research of the multiple clean vectors. Numerically, we have proposed new implementation of the block GMRES method for solving linear system with multiple right hand sides. This implementation use the block Arnoldi process and the particular structure of the upper block Hessenberg matrix for the minimization of the residual norm and this, without using QR decomposition of the matrix.