Étude d'un processus bifractal et application statistique en géologie

Ibifractal process study and statistical application in geophysics

• Auteur / Autrice : Alexandre Brouste
• Direction : Jacques Istas, Sophie Lambert-Lacroix
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondelettes

Fourier, Séries de

Multifractales

Mots clés libres

Variations quadratiques

Autosimilarité

Résumé

Depuis l'utilisation pour des applications statistiques du mouvement brownien fractionnaire par Mandelbrot et Van Ness en 1968, une vaste littérature s'est constituée autour de l'estimation de l'autosimilarité et de la régularité hôlderienne. Dans'le cadre de l'analyse multifractale des séries de Fourier et des séries d'ondelettes (pleines et lacunaires), les séries aléatoires d'ondelettes basées sur un processus de branchement sont présentées. Leurs propriétés analytiques (bifractalité, dimension de Hausdorff du graphe non entière) et la simulation de leurs trajectoires montrent leur capacité à modéliser des processus intermittents. Une méthode d'estimation des deux paramètres du modèle (estimation du paramètre de régularité et du paramètre des lacunes) par filtrage d'une trajectoire est développée pour ce modèle. Elle trouvera une application naturelle pour la classification, en géophysique, des morphologies stylolitiques (roches sédimentaires de calcaire soumises à des processus de dissolution sous contrainte). Ces séries généralisent ainsi les propriétés du mouvement brownien fractionnaire et peuvent expliquer les phénomènes de persistance et de leptokurticité.

A wide-range litterature have sprung dealing with self-similarity or Hôlder regularity, since the fractional Brownian motion use for statistical applications (Mandelbrot and Van Ness 1968). Ln the multifractal analysis framework, simple branching wavelet series are here presented. Analytical properties (bifractal spectrum of singularities, fractional Hausdorff dimension of the graph) and simulations show how these series can modelize irregular and intermittent processes. A method so as to estimateboth fraction al and lacunae parameters based on a filtered trajectory is given. Applications of this method are found in classification of morphologies of stylolites (sedimentary rocks interfaces under pressure-dissolution). These series also generalize fractional Brownian motion properties and can explain persistency and leptokurticity phenomena.