Contributions à l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades fléchies et applications aux équations et dérivées partielles

Contribution for the study of reflected backward stochastic equations and applications of partial differentiel equations

• Auteur / Autrice : Mingyu Xu
• Direction : Jean-Pierre Lepeltier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Le Mans

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arrêt optimal (statistique mathématique)

Équations aux dérivées partielles

Équations différentielles stochastiques

Résumé

Dans un premier chapitre, nous avons considéré les équation différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs) réfléchies avec une ou deux barrières continues à droite et limitées à gauche (càdlàg). En utilisant une méthode d'itération de Picard nous avons obtenu l'existence et l'unicité de lasolution de l'EDSR à deux barrières. Nous avons ensuite utilisé une méthode de pénalisation dans le cas d'une barrière. En considérant les solutions (Y n,Zn,Kn) des équations pénalisées comme solutions d'EDSRs réfléchies, on montre que la limite (Y,Z,K) est la solution du problème, parles propriétés de l'enveloppe de Snell et le théorème ”limit monotonic” de Peng (Peng, S. , 1999). Dans le cas de l'équation avec deux barrières càdlàgs, de manière analogue, une généralisation du”limit monotonic” théorème permet de passer à la limite dans les équations pénalisées. Ensuite, la représentation des solutions via les Jeux de Dynkin nous permet d'obtenir que la limite (Y,Z,K)est alors la solution du problème. Dans un second travail, nous avons généralisé ce type de résultat au cas o`u les barrières sont seulement L2, en utilisant toujours une méthode de pénalisation avec la théorie des g-sur-solutions. Dans un second chapitre, nous considérons les EDSRs réfléchies avec une barrière continue,associées à (_, f,L), lorsque _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) est continue, satisfait des conditions de mono-tonie, de croissance générale en y, et la condition lipschitzienne en z, et lorsque la barrière (Lt)0_t_Test un processus continu progressivement mesurable, qui vérifie certaines conditions d'intégrabilité. Nous avons notamment montré l'existence et l'unicité de la solution dans L2, pour cette équation réfléchie avec temps terminal déterministe. La preuve de l'existence s'effectue en quatre étapes. La première étape consiste à montrer le résultat sous des hypothèses de bornitude pour _, f(t, 0) etL+. La seconde étape (la plus délicate) consiste à relaxer l'hypothèse de bornitude sur L+ ; enfin les deux dernières étapes nous permettent d'obtenir le résultat général, en relaxant les hypothèses de bornitude sur _ et f(t, 0). Les théorèmes de comparaison jouent un rôle important, en nous permettant de passer à la limite dans les équations. Nous avons ensuite étudié le cas o`u le temps terminal est aléatoire. L'existence et l'unicité de la solution sont montrées. Dans un troisième chapitre, nous étudions les EDSRs réfléchies à une barrière dont le générateur satisfait des conditions de monotonie, de croissance générale en y, et une condition de croissance quadratique ou linéaire en z, et lorsque la barrière L est uniformément bornée. Nous montrons l'existence d'une solution par approximation, sous ces conditions. Nous trouvons également une condition nécessaire et suffisante pour le cas f(t, !, y, z) = |z|2 , et construisons sa solution expli-citement. Pour le cas f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), nous montrons une condition suffisante. Dans un quatrième chapitre, nous traitons des EDSRs réfléchies avec deux barrières, lorsque satisfait des conditions de monotonie, continuité, croissance générale en y, et de Lipschiz en z,comme dans le second chapitre. Pour les barrières, nous exigeons que L et U soient continues, L < Usur [0, T], et l'hypothèse de Mokobodski. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution pour cette équation. Dans un cinquième chapitre, nous étudions les applications des ESDRs. Une application importante des EDSRs consiste à donner une interprétation probabiliste (Formule de Feynman-Kacnonlinéaire) pour les solutions des équations aux dérivées partielles (EDPs) semi linéaires parabo-liques. Nous appliquons la méthode d'approximation et les résultats de l'EDSR dans (Pardoux,1999), pour l'EDP semi linéaire, dans le sens Sobolev, par la solution de l'EDSR correspondante. Ensuite, nous utilisons la notion de l'EDP avec obstacle (Bally et al. , 2004). Par la même approximation que dans le second chapitre, nous montrons l'interprétation probabiliste de la solution(u, _) de l'EDP par la solution (Y,Z,K) de l'EDSR réfléchie. Ici, nous supposons que l'obstacle hest à croissance polynômiale. Nous prouvons un théorème qui permet de remplacer la fonction test régulière par la fonction test aléatoire sous les conditions de monotonie et de croissance générale,et par ce théorème nous obtenons l'unicité de la solution de l'EDP via l'unicité de la solution del'EDSR ou l'EDSR réfléchie. Enfin dans un dernier chapitre, nous étudions les solutions numériques des EDSRs et présentons des résultats de simulation, et nous appliquons notamment cette technique au calcul des options américaines.

In the first chapter, we consider the reflected backward stochastic differential equation (BSDEsin short) with one or two right continuous and left limited (RCLL in short) barriers. Using the Picarditeration method, we obtained the existence and uniqueness of the solution of the reflected BSDEwith two RCLL barriers. Then we use the penalization method to the case of one RCLL barrier. Considering the solutions (Y n,Zn,Kn) of penalized equations as solutions of reflected BSDEs,we prove that the limit (Y,Z,K) is the solution of equation, by properties of Snell envelope andmonotonic limit theorem (Peng S. , 1999). In the case of equation with two RCLL barriers, by theanalogue method, we prove the limit (Y,Z,K) of penalized equation is the solution of problem,by the representation of solutions via Dynkin game. Here we need a generalized monotonic limittheorem, which permit us to pass the limit for penalized equations. In a second work, we have generalized this type of result to the case where barriers are just inL2, by the method of penalization and the theory of g-supersolution. In the second chapter, we consider the reflected BSDEs with one continuous barrier, associatedto (_, f,L), when _ 2 L2(FT ), f(t, !, y, z) is continuous, satisfies monotonic and general increasingconditions on y, and Lipschitz condition on z, and when the barrier (Lt)0_t_T is a progressivelymeasurable continuous process, which verifies certain integrability condition. We have also notable prove the existence and uniqueness of solution in L2, for this reflectedequation with determinist terminal time. The proof of existence is effected by four steps. The firststep consists to prove the result under the boundness condition of _, f(t, 0) et L+. The second step(the most delicate) consists to relax the boundness condition of L+ ; the following two step permitus to obtain the general result, relaxing the boundness condition on _ and f(t, 0). The comparisontheorems play important roles, which help us to pass the limit in the equations. Then we study thecase when the terminal time is a stopping time. The existence and uniqueness of the solution arealso proved. In the third chapter, we have studied the reflected BSDEs with one barrier, whose generator fsatisfies the monotonic and general increasing condition on y, and quadratic and linear condition onz, when the barrier L is uniformly bounded. We prove the existence of a solution by approximation,under these conditions. We also find a necessary and sufficient condition for the case f(t, !, y, z) =|z|2, and construct its solution explicitly. For the case f(t, !, y, z) = |z|p, p 2 (1, 2), we prove asufficient condition. In the forth chapter, we treat the reflected BSDE with two barrier, when f satisfies the mono-tonic, continuous and general increasing conditions on y, and Lipschitz condition on z, like in thesecond chapter. For the barriers, we suppose that L and U are continuous, L < U on [0, T], andMokoboski condition. We prove the existence and uniqueness of the solution for this equation. In the fifth chapter, we study the applications of BSDE. A important application of BSDEconsists to give a probabilistic interpretation (nonlinear Feynman-Kac formula) pour solutions ofsemilinear parabolic partial differential equations. We apply the approximation method and resultsof BSDE in (Pardoux, 1999) for semiliear PDE in Sobolev sense, by the solution of correspondingBSDEs. In following, we use the notion of PDE with obstacle (Bally et al. , 2004). By the sameapproximation in second chapter, we prove the probabilistic interpretation of the solution (u, _) ofPDE by the solution (Y,Z,K) of reflected BSDE. Here, we suppose that the obstacle h is polynomialincreasing. We prove a theorem which permits us to replace the regular test function by the randomtest function under monotonic and general increasing conditions, and by this theorem we obtainthe uniqueness of the solution of PDE from the solution of BSDE or reflected BSDE. Finally, in the last chapter, we study the numerical solutions of BSDEs and present somesimulation results, and we apply this technique to the calculation of American option.