Exemples d'approximation par la diffusion pour des équations cinétiques

Examples of approximation by diffusion for kinetic equations

• Auteur / Autrice : Christian Dogbe
• Direction : François Golse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Dans le premier chapitre on montre que l'on peut construire a l'aide des fonctions propres generalisees une decomposition spectrale de l'operateur $$a. (f#+ f#-) = (#z 0 0 #z)(f#+ f#-) de domaine $$d(a) = (f#+ f#-) , ht. Q. / a(f#+ f#-) , h, f#+ (0,) = f#-(0,t) f#-(h,) = f#+(h,t) avec $$h = l#2 l#2((0,h) t#2). Cet operateur apparait dans l'equation du gaz de knudsen sous la forme #tf# + ca(). *#xf# c#zf# = 0, t , r#+, x , r#d, 0 < z < h, , t#2, ou f# representent des densites de particules se reflechissant entre deux plaques, avec des conditions aux limites bien adaptees. Comme application a notre travail, nous utilisons le chat d'arnold pour obtenir l'equation de diffusion comme la limite d'une equation cinetique reversible dans une echelle prealablement definie. Cette limite diffusive provient des particules subissant plusieurs collisions par unite de temps. La transformation des vitesses dans le processus de collision verifie des proprietes de melange fort. Dans la deuxieme partie on montre comment une condition aux limites regulieres decrite par une condition aux limites diffusive peut generer un processus de diffusion dans un fluide. A l'instar des resultats obtenus par des arguments de probabilite par borgers-greengard-thomann, notre resultat utilise essentiellement des arguments d'analyse fonctionnelle. Nous demontrons que l'evolution de la densite des particules entre deux plaques planes paralleles distantes de h decrit une equation de diffusion sur l'echelle de temps (e) #2|log e#2|, lorsque h tend vers zero. Le but de la troisieme partie partie est l'etude d'un gaz tres rarefie (gaz moleculaire libre) autour d'obstacles au repos ou les conditions de maxwell sont appliquees. Nous montrons que lorsque h tend vers zero, l'evolution des particules est decrite par une equation de diffusion sur l'echelle de temps t t/p(e). Nous donnons une preuve tres simple des resultats de babovsky-bardos-platkowski ou de golse basee sur des estimations a priori des equations aux derivees partielles, n'utilisant aucune theorie de probabilite pour la condition aux limites d'accomodation. Lorsque le libre parcours moyen des photons est petit, les equations de transfert radiatif peuvent etre approximees par une equation de diffusion angulaire. Pour obtenir cette equation de diffusion on utilise un argument de monotonie. Mais cet argument impose des hypotheses sur l'opacite. Pour palier cet inconvenient, on propose une etude de la solution par la methode de compacite ; ainsi se resume la quatrieme partie. Nous terminons notre travail par l'etude d'un modele cinetique tres simple, la structure du flot induit par une discontinuite de la condition aux limites. Le modele considere ici est le modele de transport stationnaire, bidimensionel, dans un demi-espace avec un flux entrant. La propagation des singularites est etudiee par la methode de la moyennisation de golse-lions-perthame-sentis.