Etude globale de dynamiques paramétrées : l'exemple de la famille de Lozi

Global study of parameterized dynamics : the example of the Lozi family

• Auteur / Autrice : Stéphane Oselka
• Direction : Hans Rugh, Jérôme BUZZI
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2010
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : ED EM2C - Economie, Mathématiques et Management de Cergy
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Analyse Géometrie Modélisation

Mots clés

Mots clés libres

systèmes dynamiques

affine par morceaux

Lozi Hénon

dynamical systems

piecewise linear

Lozi Hénon

Résumé

Etude globale de dynamiques paramétrées : l'exemple de la famille de Lozi. Un des objectifs majeurs de la théorie des systèmes dynamiques est de donner une description de "la plupart" des dynamiques. C'est une des motivations des récents et spectaculaires progrès de la dynamique des difféomorphismes génériques en topologie C¹. Techniquement, ces progrès reposent en grande partie sur l'existence de techniques de perturbation : la topologie C¹ est assez grossière pour permettre de créer toute une diversité de phénomènes en dehors de cas très rigides par ailleurs bien compris. Tout ceci tombe en défaut en régularité supérieure ou si l'on se restreint à une famille paramétrée. La famille de Lozi constitue un exemple de dynamique à petit nombre de paramètres avec suffisamment de rigidité pour espérer contrôler ses propriétés, mais aussi assez de souplesse pour présenter à la fois des comportements hyperboliques ("chaotiques") et elliptiques ("réguliers"). Divers chercheurs (Misiurewicz, Collet, Young, Ishii, Sands, Buzzi, Gouëzel, Baladi) s'y sont intéressés et ont analysé des cas particuliers ou au contraire le cadre plus général des dynamiques affines par morceaux. Cette thèse se propose de développer les outils nécessaires à la généralisation de ces résultats aussi bien dans la zone hyperbolique, dont seule une petite région est réellement comprise, que dans son complémentaire. Divers points de vue seront employés: dynamique topologique (attracteurs, entropie topologique) et mesurée (mesures de Sinai-Ruelle-Bowen, mesures d'entropie maximale). Global study of parameterized dynamics : the example of the Lozi family. One of the major objectives in the theory of dynamical systems is to give a description of “the majority” of dynamics. It is one of the motivations of the recent and spectacular advances in dynamics of generical diffeomorphisms in C¹ topology. These advances are mostly based on the existence of perturbation techniques : C¹ topology is rough enough to enable the creation of a whole range of varied phenomenons beside very rigid cases which are well understood otherwise. All this is no longer possible when considering smoother dynamics or when restricting study to parameterized families. The Lozi family constitutes an example of dynamics with small range of parameters, having sufficient rigidness for one to hope controlling its properties, but also flexible enough to offer hyperbolic (“chaotic”) as well as elliptic (“regular”) behaviours. Various researchers (Misiurewicz, Collet, Young, Ishii, Sands, Buzzi, Gouëzel, Baladi) have been interested in studying these mappings, and gave analyzes of specific cases or tried on the contrary to consider the more general issue of piecewise linear dynamics. This thesis proposes to develop the tools necessary to a generalization of these results in the hyperbolic zone, of which only a small region is well understood, as well as in its complement. Different aspects will be studied : topological dynamics (attractors, topological entropy) and measured dynamics (Sinai-Ruelle-Bowen measures, maximal entropy measures).