Propagation spatiale pour des systèmes de réaction-diffusion non locaux et non autonomes en dynamique des populations

Spatial prοpagatiοn fοr sοme nοnlοcal and nοn-autοnοmοus reactiοn-diffusiοn systems arising in pοpulatiοn dynamics

• Auteur / Autrice : Zhucheng Jin
• Direction : Arnaud Ducrot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2022
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre (Le Havre, Seine-Maritime)
• Jury : Président / Présidente : Danielle Hilhorst
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Hamel, Xing Liang, Quentin Griette, Pierre Magal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Hamel, Xing Liang

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convolutions (mathématiques)

Équations de réaction-diffusion

Mots clés libres

Phénomènes de propagation

Hétérogénéité temporelle

Équations de réaction-diffusion

Diffusion non locale

Système de type proie-prédateur

Propagation phenomena

Time heterogeneity

Reaction-diffusion equations

Nonlocal diffusion

Prey-predator systems

Résumé

Dans cette thèse, on étudie la propagation spatiale pour certaines équations et systèmes d'équations de réaction-diffusion non autonomes. On considère que les coefficients dépendent du temps de façon générale. Cependant, pour obtenir des résultats optimaux, notamment sur les vitesses d'expansion de certaines solutions, nous supposerons que les variations temporelles possèdent des propriétés supplémentaires de moyennisation. Les cas de coefficients périodiques ou presque périodiques seront des cas particulier de notre analyse, pour lesquels nous pouvons obtenir l'existence d'une vitesse d'expansion. Dans un premier travail, nous nous intéressons à l'existence et la non existence de solutions de type ondes progressives généralisées pour une équation de Fisher-KPP avec diffusion non locale. Ici le noyau de diffusion non local ainsi que le terme de réaction dépendent du temps. L'existence et la non existence de telles solutions sont prouvées. Le deuxième travail concerne l'étude de la propriété de d’expansion pour des solutions d'une équations non autonome de Fisher-KPP avec diffusion non locale. Sous certaines hypothèses de moyennisation temporel sur les coefficients, on décrit une vitesse d'expansion pour certaines classes de donnée initiales. On considère ensuite un système proie-prédateur non autonome avec diffusion locale. On s'intéresse tout particulièrement au cas où la proie et le prédateur peuvent tout deux envahir l'environnement, initialement vide des deux espèces. En prouvant des estimations ponctuelles locales entre les densités des deux espèces, nous décrivons les vitesses de propagation des deux espèces. Enfin, nous étudions certaines propriétés d'expansion pour les solutions d'une classe de systèmes de type proie-prédateur posé sur un réseau discret. La dispersion spatiale des deux espèces suit des lois données par des noyaux de convolution. En combinant des estimations ponctuelles similaires au chapitre précédent avec des méthodes développées pour les équations non locales dans notre second travail, nous décrivons le comportement en temps grand de certaines solutions de co-invasion.

In this thesis, we study the spatial propagation for some non-autonomous reaction-diffusion equations and systems. Here we mainly consider that coefficients depend on time in a general way. To obtain some sharp results, we assume that the time variations exhibit somehow good averaging properties, including periodicity and almost periodicity as special cases. In the first work, we investigate the so-called generalized travelling wave solutions for a Fisher-KPP equation with nonlocal diffusion. Both the nonlocal kernel and the reaction term depend on time. The existence and nonexistence of such solutions are proved. The second work is concerned with the spreading properties of solutions to non-autonomous Fisher-KPP equations with nonlocal diffusion. Under certain assumptions on the coefficients, a definite spreading speed is obtained. Then, we focus on a two-components non-autonomous prey-predator system with diffusion. We are interested in the case where both the prey and the predator can co-invade the empty environment. Based on the derivation of local pointwise estimates between the densities of the two species, we obtain the spreading speeds for such a system. Lastly, for a class prey-predator systems posed on a lattice with a discrete convolution dispersion, we can also derive similar estimates. By combining the method developed for nonlocal equation in our second work, the large time behaviour of some solutions to such a problem is described.