Inférence statistique pour les mesures de risques extrêmes : Implication pour l'assurance des catastrophes naturelles

Statistical inference for extreme risk measures : Implication for the insurance of natural disasters

• Auteur / Autrice : Meryem Bousebata
• Direction : Stéphane Girard, Geoffroy Enjolras
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 30/03/2022
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equipe-projet Modelling and inference of complex and structured stochastic systems (Montbonnot, Isère, France ; 200.-2020)
• Partenaire(s) de recherche : IDEX : CDP RISK - WP3
• Jury : Président / Présidente : Véronique Maume-Deschamps
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gilles Claude Stupfler, Philippe Madiès
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Véronique Maume-Deschamps, Alexandre Gohin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Gestion du risque

Valeurs extrêmes, Théorie des

Statistique bayésienne

Mots clés libres

Statistique non paramétrique

Théorie des valeurs extrêmes

Statistique bayésienne

Assurance

Catastrophes naturelles

Nonparametric statistic

Extreme value theory

Bayesian statistic

Insurance

Natural disasters

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la statistique des valeurs extrêmes et de l'assurance agricole. Pour le premier axe de recherche, le quantile extrême d'une variable réponse Y peut souvent être lié à un vecteur de covariables X de dimension p. Lorsque p est grand comparé à la taille de l'échantillon n, la distribution conditionnelle de Y étant donné X devient difficile à estimer, surtout lorsqu'on a affaire à des valeurs extrêmes. La première contribution de cette thèse est de proposer une nouvelle approche, appelée Extreme-PLS, pour la réduction de la dimension dans le cadre des valeurs extrêmes conditionnelles. Cette approche consiste à réduire la dimension de X en maximisant la covariance entre une combinaison linéaire des composants de X et de Y étant donné de grandes valeurs de Y. Nous établissons la normalité asymptotique de l'estimateur Extreme-PLS sous un modèle à indice unique. La deuxième contribution est une extension bayésienne de la méthode Extreme-PLS pour traiter les problèmes de rareté des données dans les queues de distribution. Cette approche permet d'identifier la direction de la réduction de la dimension en introduisant des informations a priori sur celle-ci. Elle fournit un cadre bayésien pour calculer la distribution postérieure de la direction, où la fonction de vraisemblance est obtenue à partir d'une distribution de von Mises-Fisher adaptée aux hyper boules. Trois distributions postérieures sont considérées : loi conjuguée, hiérarchique et sparse.Enfin, la performance des deux approches est évaluée sur des données simulées, et une application sur des données de revenus agricoles françaises est fournie à titre d'illustration.En ce qui concerne le deuxième axe de recherche, les dérèglements climatiques et la dérégulation des marchés ont augmenté et impacté la production et les revenus agricoles. Les revenus des agriculteurs sont confrontés à deux principaux types de risques liés à la volatilité des prix et des rendements. La protection contre ces risques relève d'une bonne gestion des risques et donc de la couverture d'assurance des agriculteurs. La troisième contribution de cette thèse concerne l'étude et la modélisation de la structure de dépendance entre le rendement des cultures et les risques de prix par les copules. Nous utilisons également les copules conditionnelles pour prendre en compte l'effet d'autres covariables telles que l'achat d'assurance récolte, les sinistres et les facteurs météorologiques. La dernière contribution porte sur la prise en compte du mécanisme de couverture naturelle, c-à-d la dépendance négative entre les rendements et les prix, dans un régime d'assurance des revenus. Nous analysons son effet sur la valeur de la prime actuariellement juste sur un exemple de tarification de contrat d'assurance revenu. Les résultats montrent qu'une couverture naturelle est susceptible de réduire les primes d'assurance en France.L'ensemble des études se concentrent sur les données du revenu agricole français dans les secteurs céréaliers (maïs et blé) et viticoles.

This thesis takes place in extreme value statistics and agricultural insurance frameworks. For the first line of research, the extreme quantile of a response variable Y can often be linked to a vector of covariates X of dimension p. When p is large compared to the sample size n, the conditional distribution of Y given X becomes difficult to estimate, especially when dealing with extreme values. The first contribution of this thesis is to propose a new approach, called Extreme-PLS, for dimension reduction in conditional extreme values settings. This approach consists in reducing the dimension of X by maximizing the covariance between a linear combination of coordinates X and Y given large values of Y. We establish the asymptotic normality of the Extreme-PLS estimator under a single-index model. The second contribution provides a Bayesian extension to the Extreme-PLS method to address data scarcity problems in distribution tails. This approach allows to identify the direction of dimension reduction by introducing a prior information on it. It provides a Bayesian framework for computing the posterior distribution of the direction, where the likelihood function is obtained from a von Mises-Fisher distribution adapted to hyperballs. Three prior distributions are considered: conjugate, hierarchical and sparse priors. Finally, the performance of both approaches is evaluated on simulated data, and an application on French farm income data is provided as an illustration.Regarding the second line of research, climate disruption and market deregulation have increased and impacted agricultural production and income. Farmers' incomes are faced with two main types of risk related to price and yield volatility. Protection against these risks fall within a good risk management and thus farmers' insurance coverage. The third contribution of this thesis concerns the study and modelling of the dependence structure between crop yield and price risks using copulas. We also use conditional copulas to take into account the effect of other covariates such as crop insurance purchase, claims and weather factors. The last contribution focuses on considering the natural hedge mechanism, i.e. the negative dependence between yields and prices, in a revenue insurance scheme. We analyse its effect on the value of the actuarially fair premium on an example of revenue insurance contract pricing. The results show that a natural hedge is likely to reduce insurance premiums in France.All studies focus on French farm income data in the cereal (maize and wheat) and wine sectors.