Machines de Mealy, (semi-)groupes d'automate, problèmes de décision et génération aléatoire

Mealy machines, (semi-)automaton groups, decision problems and random generation

• Auteur / Autrice : Thibault Godin
• Direction : Inès Klimann, Matthieu Picantin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 13/07/2017
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Cyril Nicaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Inès Klimann, Matthieu Picantin, Cyril Nicaud, Jean Mairesse, Pascal Weil, Dmytro Savchuk, Markus Lohrey, Olivier Serre, Nathalie Aubrun
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean Mairesse, Pascal Weil

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes simples finis

Burnside, Problème de

Transductions rationnelles

Semigroupes

Théorie des automates mathématiques

Mots clés libres

Automates de Mealy

Problèmes de décision

Génération aléatoire

Mealy automata

Decision problems

Random generation

Résumé

Dans cette thèse, on se propose d'étudier les automates de Mealy, c'est-à-dire des transducteurs complets déterministes lettre à lettre ayant même alphabet d'entrée et de sortie. Ces automates sont utilisés depuis les années 60 pour engendrer des (semi-)groupes qui ont parfois des propriétés remarquables, permettant ainsi de résoudre plusieurs problèmes ouverts en théorie des (semi-)groupes. Dans ce travail, on s’intéresse plus particulièrement aux apports possibles de l'informatique théorique à l'étude de ces (semi-)groupes engendrés par automate. La thèse présentée s'articule autours de deux grands axes. Le premier, qui correspond aux chapitres II et III, traite des problèmes de décision et plus spécifiquement du problème de Burnside dans le chapitre II et des points singuliers dans le chapitre III. Dans ces deux chapitres on met en lien des propriétés structurelles de l'automate avec des propriétés du groupe engendré ou de son action. Le second axe, représenté par le chapitre IV, se rapporte à la génération aléatoire de groupes finis. On cherche, en tirant des automates de Mealy aléatoirement dans des classes spécifiques, à engendrer des groupes finis, et on aboutit à un résultat de convergence pour la distribution ainsi obtenue. Ce résultat fait écho au théorème de Dixon pour les groupes de permutations aléatoires

In this thesis, we study Mealy automata, i.e. complete, deterministic, letter-to-letter transducers which have same input and output alphabet. These automata have been used since the 60s to generate (semi)groups that sometimes have remarkable properties, that were used to solve several open problems in (semi)group theory. In this work, we focus more specifically on the possible contributions that theoretical computer science can bring to the study of these automaton (semi)groups.The thesis consists of two main axis. The first one, which corresponds to the Chapters II and III, deals with decision problems and more precisely with the Burnside problem in Chapter II and with singular points in Chapter III. In these two chapters, we link structural properties of the automaton with properties of the generated group or of its action. The second axis, which comprises the Chapter IV, is related with random generation of finite groups. We seek, by drawing random Mealy automata in specific classes, to generate finite groups, and obtain a convergence result for the obtained distribution. This result echoes Dixon's theorem on random permutation groups