Fibrés principaux géométriques sur les variétés riemanniennes géométriques

by Arash Bazdar

Doctoral thesis in Mathematiques

Under the supervision of Andrei Teleman.

Ongoing thesis at Aix-Marseille , under the authority of Mathématiques et informatique de Marseille (184) .

    keywords keywords

  • X
  • Alternative Title

    Geometric principal bundles over geometric Riemmannian manifolds


  • Abstract

    The thesis concerns the classification of Riemannian, locally homogeneous compact manifolds obtained as principal fibre bundles over a locally homogeneous base. A compact, locally homogeneous manifold has a geometric structure in the sense of Thurstson, so the problem we consider is related to the classification of geometric manifolds. In order to endow the total space of a principal bundle (with a Riemannian manifold as base) with a Riemannian metric, one needs a connection on it. The problem studied and solved in the thesis is: characterize and classify the principal bundles endowed with connections (on a given geometric base) which yield locally homogeneous metrics on the total space. A triple $(g,P,A)$ formed by a Riemannian manifold, a principal bundle on this manifold, and a connection on this bundle, which satisfies a natural local-homogeneity condition is called a locally homogeneous triple. Therefore, the fundamental problem of the thesis is the classification of the locally homogeneous triples on a given base. In order to solve this problem we introduce a natural condition of infinitesimal homogeneity for our triples. We prove that this condition implies (1) local homogeneity (2) global homogeneity if the base is simply connected and complete. Using this result we reduce our problem to the classification of homogeneous connections on a homogeneous manifold. The classification of locally homogeneous triples on a given base leads naturally to moduli spaces whose points correspond bijectively to isomorphism classes of locally homogeneous triples. We describe explicitly examples of such moduli spaces in the interesting case when the base is a Riemann surface.


  • Abstract

    Les résultats de la thèse portent sur la classification des variétés riemanniennes compactes, localement homogènes (i.e. munies d’une structure géométrique au sens de Thurston) obtenues comme fibrés principaux sur une base localement homogène donnée. Pour munir l’espace total d’un fibré principal (sur une base riemannienne) d’une métrique riemannienne, on a besoin d’une connexion sur ce fibré. Le problème étudié et résolu dans thèse, est: caractériser et classifier les fibrés principaux munis de connexions, qui fournissent des métriques riemanniennes localement homogènes. Nous avons appelé une telle structure (formée par une variété riemannienne, un fibré principal sur cette variété, et une connexion sur ce fibré) qui satisfait une notion naturelle d'homogénéité locale "triplet localement homogène". Donc le problème fondamental de la thèse est la classification des triplets localement homogènes $(g,P,A)$ sur une base donnée $M$. Pour résoudre ce problème on introduit une propriété d'homogénéité infinitésimale pour les triplets $(g,P,A)$, et nous montrons que cette condition implique: (1) l'homogénéité locale, (2) l'homogénéité globale si la base est simplement connexe est complète. En utilisant ce résultat on réduit notre problème à la classification des connexions homogènes sur une variété homogène. La classification des triples localement homogènes $(g,P,A)$ sur une base donnée mène naturellement à des espaces de modules, dont les points correspondent bijectivement aux classes d’isomorphismes de triples localement homogènes. Nous allons décrire explicitement quelques exemples d’espaces de modules de ce type dans le cas où la base est une surface de Riemann.