Singularités en géométrie sous-riemannienne

Singularities in sub-Riemannian geometry

• Auteur / Autrice : Ludovic Sacchelli
• Direction : Ugo Boscain, Mario Sigalotti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 17/09/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne) - Control And GEometry
• Jury : Président / Présidente : François Alouges
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ugo Boscain, Mario Sigalotti, Ludovic Rifford, Andrei A. Agrachev
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Bennequin, Richard Montgomery

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Géométrie différentielle

Optimisation mathématique

Géométrie de Riemann

Mots clés libres

Géométrie sous-Riemannienne

Singularités

Stabilité

Théorie géométrique de la mesure

Champs de directions

Sub-Riemannian geometry

Singularities

Stability

Geometric measure theory

Line fields

Résumé

Nous étudions les relations qui existent entre des aspects de la géométrie sous-riemannienne et une diversité de singularités typiques dans ce contexte.Avec les théorèmes de Whitney sous-riemanniens, nous conditionnons l’existence de prolongements globaux de courbes horizontales définies sur des fermés à des hypothèses de non-singularité de l’application point-final dans l’approximation nilpotente de la variété.Nous appliquons des méthodes perturbatives pour obtenir des asymptotiques sur la longueur de courbes localement minimisantes perdant leur optimalité proche de leur point de départ dans le cas des variétés sous-riemanniennes de contact de dimension arbitraire. Nous décrivons la géométrie du lieu singulier et prouvons sa stabilité dans le cas des variétés de dimension 5.Nous introduisons une construction permettant de définir des champs de directions à l’aide de couples de champs de vecteurs. Ceci fournit une topologie naturelle pour analyser la stabilité des singularités de champs de directions sur des surfaces.

We investigate the relationship between features of of sub-Riemannian geometry and an array of singularities that typically arise in this context.With sub-Riemannian Whitney theorems, we ensure the existence of global extensions of horizontal curves defined on closed set by requiring a non-singularity hypothesis on the endpoint-map of the nilpotent approximation of the manifold to be satisfied.We apply perturbative methods to obtain asymptotics on the length of short locally-length-minimizing curves losing optimality in contact sub-Riemannian manifolds of arbitrary dimension. We describe the geometry of the singular set and prove its stability in the case of manifolds of dimension 5.We propose a construction to define line fields using pairs of vector fields. This provides a natural topology to study the stability of singularities of line fields on surfaces.