Quelques propriétés de rigidité des algèbres de von Neumann

Some Rigidity Properties of von Neumann Algebras

• Auteur / Autrice : Amine Marrakchi
• Direction : Cyril Houdayer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 06/06/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Sorin Popa
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cyril Houdayer, Sorin Popa, Georges Skandalis, Stefaan Vaes, Frédéric Paulin, Claire Anantharaman
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Georges Skandalis, Narutaka Ozawa

Mots clés

Mots clés contrôlés

Von Neumann, Algèbres de -- Produits croisés

Théorie spectrale (mathématiques)

Théorie ergodique

Opérateurs, Théorie des

Mots clés libres

Algèbres de von Neumann

Trou spectral

Facteurs pleins

Relations d'équivalences stables

Solidité

Facteurs de type III

Von Neumann algebras

Spectral gap

Full factors

Stable equivalence relations

Solodity

Type III factors

Résumé

Dans cette thèse, je m'intéresse à diverses propriétés de rigidité des algèbres de von Neumann. Dans le Chapitre 1, je démontre la solidité relative des produits croisés issus d'actions Bernoulli de type quelconque. Ce résultat repose sur la théorie de la déformation/rigidité de Popa et généralise un théorème de Chifan et Ioana en type II. Comme conséquence, dès que le groupe qui agit est non-moyennable, ces produits croisés sont premiers (n'admettent pas de décomposition non triviale en produit tensoriel de deux facteurs) et la relation d'équivalence associée est solide. Le Chapitre 2 a pour thème les facteurs pleins et les phénomènes de trous spectraux. Je montre notamment que tout facteur plein de type III vérifie une propriété de trou spectral similaire à celle obtenue par Connes dans le cas II_1. Le trou spectral permet d'analyser plus finement la structure de ces facteurs et de leur groupe d'automorphismes. Je généralise ainsi un théorème de Jones en donnant une condition suffisante pour qu'un produit croisé soit plein. Cette condition est de plus nécessaire dans le cas où le groupe qui agit est abélien. Ceci permet de caractériser complètement les facteurs de type III_1 dont le cœur est plein. Dans un travail en collaboration avec C. Houdayer et P. Verraedt, nous montrons aussi qu'un produit tensoriel de deux facteurs pleins est encore plein et nous calculons ses invariants de Connes. Nous obtenons aussi un théorème d'unique décomposition McDuff qui généralise un résultat de Popa dans le cas II_1.Dans le Chapitre 3, je m'intéresse aux facteurs McDuff, i.e. qui ont la propriété d'absorber tensoriellement le facteur hyperfini, ainsi qu'à leur analogue en théorie ergodique, les relations d'équivalences stables. Je donne notamment une nouvelle caractérisation de cette propriété de stabilité qui repose sur un argument de maximalité. Cette caractérisation de type "trou spectral", plus fine que celle connue jusqu'alors, permet de démontrer le résultat de rigidité suivant: un produit direct de deux relations d'équivalences est stable si et seulement si l'une des deux est stable. Le problème similaire pour les facteurs McDuff reste ouvert, mais je donne quelques résultats partiels.

In this dissertation, I study several rigidity properties of von Neumann algebras. In Chapter 1, we prove the relative solidity of Bernoulli crossed products of arbitrary type. This result is based on Popa's deformation/rigidity and generalizes a theorem of Chifan and Ioana in the tracial case. As a consequence, when the acting group is non-amenable, the crossed product is prime (cannot be decomposed nontrivially as a tensor product of two factors) and the associated equivalence relation is solid.In Chapter 2, we study full factors in relation with the spectral gap property. The main result is a spectral gap characterization of full type III factors which is similar to Connes' characterization in the tracial case. This allows us to better understand the structure of these factors and their automorphism group. We generalize a theorem of Jones by giving a sufficient condition for a crossed product to be full. This condition is necessary when the group is abelian. In particular, we obtain a complete characterization of the type III_1 whose core is full. In a joint work with C. Houdayer and P. Verraedt, we show that a tensor product of two full factors is also full and we compute its Connes invariants. We also prove a unique McDuff decomposition theorem that generalizes a result of Popa in the II_1 case. In Chapter 3, we study McDuff factors, i.e. those factors that can absorb tensorially the hyperfinite factor, as well as their counterpart in ergodic theory, the so-called stable equivalence relations. We obtain a new "spectral gap like" characterization of these properties, based on a maximality argument. With this refined characterization, we are able to prove the following rigidity result: a direct product of two stable equivalence relations is stable if and only if one of them is already stable. The analoguous problem on McDuff factors remains open, but we do give some partial results.