Matrices de Cartan, bases distinguées et systèmes de Toda

Cartan matrix, distinguished basis and Toda's systems

• Auteur / Autrice : Laura Brillon
• Direction : Vadim Schechtman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 27/06/2017
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrices

Lie, Algèbres de

Mots clés libres

Matrices de Cartan

Elément de Coxeter

Vecteur de Perron

Frobenius

Cycle évanescent

Théorème de Sebastiani

Thom

Q-déformations

Systèmes de Toda

Bases distinguées

Matrices de Gabrielov

Cartan matrices

Coxeter element

Perron -- Frobenius eigenvectors

Vanishing cycles

Sebastiani -- Thom theorem

Q-deformation

Toda systems

Distinguished basis

Gabrielov's matrices

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à plusieurs aspects des systèmes de racines des algèbres de Lie simples. Dans un premier temps, nous étudions les coordonnées des vecteurs propres des matrices de Cartan. Nous commençons par généraliser les travaux de physiciens qui ont montré que les masses des particules dans la théorie des champs de Toda affine sont égales aux coordonnées du vecteur propre de Perron -- Frobenius de la matrice de Cartan. Puis nous adoptons une approche différente, puisque nous utilisons des résultats de la théorie des singularités pour calculer les coordonnées des vecteurs propres de certains systèmes de racines. Dans un deuxième temps, en s'inspirant des idées de Givental, nous introduisons les matrices de Cartan q-déformées et étudions leur spectre et leurs vecteurs propres. Puis, nous proposons une q-déformation des équations de Toda et construisons des 1-solitons solutions en adaptant la méthode de Hirota, d'après les travaux de Hollowood. Enfin, notre intérêt se porte sur un ensemble de transformations agissant sur l'ensemble des bases ordonnées de racines comme le groupe de tresses. En particulier, nous étudions les bases distinguées, qui forment l'une des orbites de cette action, et des matrices que nous leur associons.

In this thesis, our goal is to study various aspects of root systems of simple Lie algebras. In the first part, we study the coordinates of the eigenvectors of the Cartan matrices. We start by generalizing the work of physicists who showed that the particle masses of the affine Toda field theory are equal to the coordinates of the Perron -- Frobenius eigenvector of the Cartan matrix. Then, we adopt another approach. Namely, using the ideas coming from the singularity theory, we compute the coordinates of the eigenvectors of some root systems. In the second part, inspired by Givental's ideas, we introduce q-deformations of Cartan matrices and we study their spectrum and their eigenvectors. Then, we propose a q-deformation of Toda's equations et compute 1-solitons solutions, using the Hirota's method and Hollowood's work. Finally, our interest is focused on a set of transformations which induce an action of the braid group on the set of ordered root basis. In particular, we study an orbit for this action, the set of distinguished basis and some associated matrices.