Pavages Aléatoires

Random Tilings

• Auteur / Autrice : Alexandra Ugolnikova
• Direction : Thomas Fernique, Olivier Bodini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 02/12/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d’informatique de Paris-Nord- Villetaneuse / LIPN
• Jury : Président / Présidente : Frédérique Bassino
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ana Bušić, Pavel Kalouguine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Béatrice de Tilière, Eric Remila

Mots clés

Mots clés contrôlés

Champs aléatoires de Markov

Pavage (mathématiques)

Remplissage et recouvrement (géométrie combinatoire)

Mots clés libres

Générations aléatoires

Pavage par carrés

Markov Chains

Approximate couting

Square Tilings

Résumé

Dans cette thèse nous étudions deux types de pavages : des pavages par une paire de carres et des pavages sur le réseau tri-hexagonal (Kagome). Nous considérons différents problèmes combinatoires et probabilistes. Nous commençons par le cas des carres 1x1 et 2x2 sur des bandes infinies de hauteur k et obtenons des résultats sur la proportion moyenne des carres 1x1 pour les cas planaire et cylindrique pour k < 11. Nous considérons également des questions échantillonnage et comptage approximatif. Pour obtenir un échantillon aléatoire nous définissons des chaines de Markov pour les pavages par des carres et sur le réseau Kagome. Nous montrons des bornes polynomiales pour le temps de mélange pour les pavages par des carres 1x1 et sxs des régions n log net les pavages Kagome des régions en forme de losange. Nous considérons aussi des chaines de Markov avec des poids w sur les tuiles. Nous montrons le mélange rapide avec des conditions spécifiques sur w pour les pavages par des carres 1x1 et sxs et pavages Kagome. Nous présentons des simulations qui suggèrent plusieurs conjectures, notamment l'existence des régions gelées pour les pavages aléatoires par des carres et sur le réseau Kagome des régions avec des bords non plats.

In this thesis we study two types of tilings : tilings by a pair of squares and tilings on the tri-hexagonal (Kagome) lattice. We consider different combinatorial and probabilistic problems. First, we study the case of 1x1 and 2x2 squares on infinite stripes of height k and get combinatorial results on proportions of 1x1 squares for k < 11 in plain and cylindrical cases. We generalize the problem for bigger squares. We consider questions about sampling and approximate counting. In order to get a random sample, we define Markov chains for square and Kagome tilings. We show ergodicity and find polynomial bounds on the mixing time for nxlog n regions in the case of tilings by 1x1 and sxs squares and for lozenge regions in the case of restrained Kagome tilings. We also consider weighted Markov chains where weights are put on the tiles. We show rapid mixing with conditions on for square tilings by 1x1 and sxs squares and for Kagome tilings. We provide simulations that suggest different conjectures, one of which existence of frozen regions in random tilings by squares and on the Kagome lattice of regions with non flat boundaries.