Méthodes itératives de décomposition de domaine sans recouvrement avec convergence géométrique pour l'équation de Helmholtz

Iterative domain decomposition method without overlap with geometric convergence for Helmholtz equation

• Auteur / Autrice : Matthieu Lecouvez
• Direction : Patrick Joly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés contrôlés

Helmholtz, Équation d'

Itération (mathématiques)

Mots clés libres

Décomposition de domaine

Ondes harmoniques

Semi norme de Gagliardo

Opérateurs de Riesz

Convergence exponentielle

Résumé

Cette thèse s’intéresse aux aspects mathématiques des méthodes itératives de résolution basées sur la décomposition de domaine et appliquées à la simulation numérique de propagation d’ondes harmoniques. Plus précisément, nous nous sommes intéressés à l’élaboration de conditions de transmission optimisées garantissant la convergence exponentielle de ce type de méthodes. Une telle convergence requiert l’utilisation d’opérateurs de transmission non locaux puisqu’ils doivent correspondre formellement à un opérateur pseudo-différentiel d’ordre 1. Une méthode de localisation des opérateurs est proposée pour réduire le coût engendré par ces opérateurs tout en conservant leurs propriétés et donc la convergence exponentielle de ces méthodes itératives. Dans un cadre général, la convergence des méthodes de décomposition de domaine est établie pour toute une classe d’opérateurs vérifiant certaines conditions de positivité et d’isomorphisme entre espaces de Sobolev. Nous proposons ensuite plusieurs opérateurs différents, dépendants de paramètres, qui vérifient les conditions nécessaires à la convergence exponentielle de la méthode. Un premier type d’opérateur se base sur les normes des espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire, tandis qu’un second type d’opérateur découle des potentiels de Riesz (puissance fractionnaire de l’opérateur de Laplace-Beltrami). Nous proposons ensuite un schéma numérique permettant d’appliquer la théorie développée à une méthode d’éléments finis. Une analyse modale dans le cas de géométries simples vient tout d’abord valider les conclusions théoriques de convergence exponentielle, puis plusieurs expériences numériques mettent en évidence les avantages des conditions de transmission proposées, et particulièrement dans le cas où une précision très fine sur la solution est demandée.

In this thesis, we are concerned by the mathematical aspects of iterative methods based on domain decomposition and applied to the numerical simulation of wave propagation in frequency domain. More specifically, we are interested in developing optimized transmission conditions that guarantee the exponential convergence of the iterative process. Such a convergence requires non local transmission operators since they should correspond, at least formally, to pseudo differential operators of order 1. A localization method is proposed to reduce the cost caused by these operators, while keeping their properties and thus the exponential convergence of the iterative method. In a general framework, the convergence of the domain decomposition methods is established for a class of operators verifying some properties such as positiveness and isomorphism between Sobolev spaces. Then, we propose several operators, which depend on parameters, that verify the required properties to achieve exponential convergence. A first kind of operator is based on norms of Sobolev spaces of fractional orders, while a second kind of operator is derived from Riesz potential (fractional powers of Laplace-Beltrami operator). Finally, we propose a numerical scheme that allows us to apply the developed theory on a finite elements method. A modal analysis of simple geometries is used to validate the theoretical conclusions of exponential convergence, and then several numerical experiments highlight the advantages of the proposed transmission conditions, especially when high precision is needed.