Algèbres de Hall, formes automorphes et la géométrie des fibres principaux sur une courbe elliptique

Hall algebras, automorphic forms and the geometry of principal bundles over an elliptic curve

• Auteur / Autrice : Dragos Fratila
• Direction : Olivier Schiffmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programme de Langlands

Fibrations (mathématiques)

Courbes elliptiques

Formes automorphes

Hecke, Algèbres de

Mots clés libres

Algèbres de Hall

Résumé

Cette thèse a deux chapitres indépendants. Dans le premier on étudie l'algèbre de Hall d'une courbe elliptique et les formes automorphes. On donne une description explicite des formes automorphes cuspidales propres pour les opérateurs de Hecke ainsi que de l'algèbre de Hall. Comme application on détermine les générateurs de l'idéal des relations satisfaites par les parties homogènes des séries d'Eisenstein. Le deuxième chapitre traite la géométrie du champs de modules des fibres principaux sur une courbe elliptique et pour un groupe réductif G avec groupe dérive [G, G] simplement connexe. Nous démontrons que pour chaque composante connexe du champs de G-fibres il existe un sous-groupe parabolique P, minimal avec la propriété que tout G-fibre semistable provient par extension d'un P-fibré semistable. De plus, on montre que le morphisme entre les deux champs de modules est small eton détermine le groupe de Galois. Ce résultat géométrique est utilisé pour formuler une conjecture sur la classification des faisceaux irréductible qui apparaissent comme sommands directs dans les faisceaux d'Eisenstein sphériques.

This thesis has two independent chapters. In the first one we study the Hall algebra of an elliptic curve and its relation with the automorphic forms. We give a complete description of the cusp eigenforms and of the Hall algebra. As an application we determine a set of generators of the ideal of relations satisfied by the homogeneous parts of the Eisenstein series. The second chapter deals with the geometry of the moduli stack of principal bundles on an elliptic curve for a reductive group G with derived group [G, G] simply connected. We prove that for every connected component of the stack of G-bundles there exists a parabolic subgroup P, minimal with the property that every semistable G-bundle comes by extension from a P-bundle. Moreover, we show that the corres-ponding morphism of stacks from P-bundles to semistable G-bundles is small and we determine the Galois group. This geometric result is used to formulate a conjecture about the classification of irreducible constituents of geometric Eisenstein series.