Study of theoretical models of Bose-Einstein condensates for different types of trappings and interactions

• Auteur / Autrice : Jimena Royo-Letelier
• Direction : Amandine Aftalion
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématique
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Versailles-St Quentin en Yvelines

Mots clés

Mots clés contrôlés

Frustration (physique)

Fonctions gamma

Fonctions, Théorie géométrique des

Équations aux dérivées partielles

Schrödinger, Opérateur de

Équations de Gross-Pitaevskii

Condensation de Bose-Einstein

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude mathématique de modèles théoriques des condensats de Bose-Einstein. On considère la fonctionnelle d’énergie de Gross-Pitaevskii pour différents types de piégeages et d'interactions. On étudie des modèles de condensats à deux dimensions définis sur tout l'espace, en rotation et à plusieurs composants, ainsi qu'un modèle décrivant une particule chargée dans un milieu périodique bidimensionnel avec champ magnétique. Les outils mathématiques utilisés sont les équations aux dérivées partielles, l'analyse non linéaire, la théorie géométrique de la mesure, la théorie spectrale et l'analyse semi-classique. Les résultats principaux vont dans quatre directions. Le premier résultat établit la non existence de vortex dans la zone de faible densité d'un condensat en rotation sous-critique. Le deuxième résultat montre la brisure de symétrie et de la ségrégation d'un condensat a deux composants dans le régime de fort couplage et faible interaction. On résout aussi un problème de partition optimale spectrale associée à un opérateur de Schrôdinger dans le plan. On introduit un nouveau modèle de minimisation du périmètre pour l'étude d'un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et forte interaction. Le troisième résultat concerne la I-convergence de la fonctionnelle d'énergie d'un condensat a deux composants dans ce dernier régime. Le dernier résultat traite du spectre d'un opérateur de Schrödinger périodique magnétique dans un réseau de kagome.

This PhD thesis is devoted to the mathematical study of theoretical models for Bose-Einstein condensates. We consider the Gross-Pitaevskii functional for several types of trapping potentials and interactions. We analyze models for two-dimensional condensates defined over all R2, under rotation and with several components. We also analyze a model for a charged particle in a two-dimensional periodic media under magnetic field. The mathematical tools employed are partial differential equations, nonlinear analysis, geometric measure theory, spectral theory and semi-classical analysis. They are four main results. The first one establishes the non existence of vortex in the low density zone of a condensate under subcritical rotation. The second result proves the segregation and the symmetry breaking of a two components condensate in the strongly coupled and weakly interacting regime. We also solve an optimal partition problem associated with a Schrödinger operator in R2. We introduce a new minimal perimeter model for the study of two components condensate in the strongly coupled and strongly interacting regime. The third result is about the I-convergence of the energy functional of a two-component condensate in this last regime. The last result concerns the spectrum of a magnetic periodical Schrödinger operator on the kagome lattice.