Détection d’un objet immergé dans un fluide

Location of an object immersed in a fluid

• Auteur / Autrice : Fabien Caubet
• Direction : Marc Dambrine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 29/06/2012
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Équations aux dérivées partielles

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Optimisation de forme

Problème inverse géométrique

Sensibilité par rapport à la forme d’ordre deux

Dérivées de forme

Sensibilité topologique

Dérivée topologique

EDP surdéterminée

Équations de Stokes et Navier-Stokes stationnaires

Shape optimization

Geometric inverse problem

Second order shape sensitivity

Shape derivatives

Topological sensitivity

Topological derivative

Overdetermined PDE

Stationary Stokes and Navier-Stokes equations

Résumé

Cette thèse s’inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de détection à l’aide du calcul de forme et de l’analyse asymptotique. L’objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes :– peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d’une mesure effectuée à la surface ?– peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ?– peut-on connaître le nombre d’objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ?Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse :– le premier met en place un cadre mathématique pour démontrer l’existence des dérivées de forme d’ordre un et deux pour les problèmes de détection d’inclusions ;– le deuxième analyse le problème de détection à l’aide de l’optimisation géométrique de forme : un résultat d’identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l’instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée ;– le chapitre 3 utilise nos résultats théoriques pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient de forme ;– le chapitre 4 analyse la localisation de petites inclusions dans un fluide à l’aide de l’optimisation topologique de forme : le gradient topologique d’une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius est caractérisé ;– le dernier chapitre utilise cette dernière expression théorique pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient topologique.

This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on a detecting inverse problem using shape calculus and asymptotic analysis. The aim is to localize an object immersed in a viscous, incompressible and stationary fluid. This work was motivated by the following main questions:– can we localize an obstacle immersed in a fluid from a boundary measurement?– can we reconstruct numerically this object, i.e. be close to its localization and its shape, from this measure?– can we know how many objects are included in the fluid using this measure?The results are described in the five chapters of the thesis:– the first one gives a mathematical framework in order to prove the existence of the shape derivatives oforder one and two in the frame of the detection of inclusions;– the second one analyzes the detection problem using geometric shape optimization: an identifiabilityresult is proved, the shape gradient of several shape functionals is characterized and the instability of thisinverse problem is proved;– the chapter 3 uses our theoretical results in order to reconstruct numerically some objets immersed in a fluid using a shape gradient algorithm;– the fourth chapter analyzes the detection of small inclusions in a fluid using the topological shape optimization : the topological gradient of a Kohn-Vogelius shape functional is characterized;– the last chapter uses this theoretical expression in order to determine numerically the number and the location of some small obstacles immersed in a fluid using a topological gradient algorithm.