Conditionnement de grands arbres aléatoires et configurations planes non-croisées

by Igor Kortchemski

Doctoral thesis in Mathématiques

Under the supervision of Jean-François Le Gall.

defended on 17-12-2012

in Paris 11 , under the authority of Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , in a partnership with Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

  • Alternative Title

    Large conditioned Galton-Watson trees and plane noncrossing configurations


  • Abstract

    Scaling limits of large random trees play an important role in this thesis. We are more precisely interested in the asymptotic behavior of several functions coding conditioned Galton-Watson trees. We consider several types of conditioning, involving different quantities such as the total number of vertices or leaves, as well as several types of offspring distributions. When the offspring distribution is critical and belongs to the domainof attraction of a stable law, a universality phenomenon occurs: these trees look like the samecontinuous random tree, the so-called stable Lévy tree. However, when the offspring distributionis not critical, the theoretical physics community has noticed that condensation phenomenamay occur, meaning that with high probability there exists a unique vertex with macroscopicdegree comparable to the total size of the tree. The goal of one of our contributions is to graspa better understanding of this phenomenon. Last but not least, we study random non-crossingconfigurations consisting of diagonals of regular polygons, and notice that they are intimatelyrelated to Galton-Watson trees conditioned on having a fixed number of leaves. In particular,this link sheds new light on uniform dissections and allows us to obtain some interesting resultsof a combinatorial flavor.


  • Abstract

    Les limites d’échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d’attraction d’uneloi stable, un phénomène d’universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l’arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu’avec grande probabilité, un sommet de l’arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l’arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d’un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s’intersectent pas intérieurement, et remarquons qu’elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d’obtenir d’intéressantes conséquences de nature combinatoire.


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