Acyclic quantum cluster algebras

• Auteur / Autrice : Fan Qin
• Direction : Bernhard Keller
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie quantique

Positivité (mathématiques)

Algèbre

Résumé

Cette thèse concerne les algèbres amassées quantiques. Pour les algèbres amassées quantiques acycliques antisymétriques, nous exprimons les F-polynômes quantiques et les monômes d'amas quantiques en termes des polynômes de Serre des grassmanniennes de carquois des modules rigides. Ensuite, nous introduisons une nouvelle famille de variétés de carquois gradués avec une nouvelle t-déformation et généralisons les (q. T)-caractères de Nakajima à ces constructions. Cela permet une approche par la (pseudo-)catégorification monoidale déformée aux bases des algèbres amassées quantiques. Lorsque la graine initiale est acyclique, pour tout choix des coefficients et de la quantification, ces caractères nous donnent une base PBW duale, une base générique, et une base canonique duale avec des constantes de structure positives, les deux dernières bases contenant tous les monômes d'amas quantiques. Comme un sous-produit, nous obtenons la conjecture de positivité pour les algèbres amassées quantiques qui contiennent des graines acycliques.

This thesis concerns quantum cluster algebras. For skew-symmetric acyclic quantum cluster algebras, we express the quantum F-polynomials and the quantum cluster monomials in terms of Serre polynomials of quiver Grassmannians of rigid modules. Then we introduce a new family of graded quiver varieties together with a new t-deformation, and generalize Nakajima's t-analogue of q-characters to these constructions. This allows a deformed monoidal (pseudo-)categorification approach to bases of the quantum cluster algebras. When the initial seed is acyclic, then for any choice of coefficients and quantization, these characters give us a dual PBW basis, a generic basis, and a dual canonical basis with positive structure constants, such that each of the latter two contains ail the quantum cluster monomials. As a byproduct, we obtain the positivity conjecture for the quantum cluster algebras which contain acyclic seeds.