Fonctions booléennes, courbes algébriques et multiplication complexe

by Jean-Pierre Flori

Doctoral thesis in Informatique et Réseaux

Under the supervision of Gérard Cohen and Hugues Randriambolona.

Thesis committee President: Andreas Enge.

Thesis committee members: Sihem Mesnager, Benjamin Smith, Nicolas Thiery.

Examiners: Gary Mc Guire, Igor Shparlinski.

  • Alternative Title

    Boolean functions, algebraic curves and complex multiplication


  • Abstract

    The first part is devoted to the study of a combinatorial conjecture whose validity entails the existence of infinite classes of Boolean functions with good cryptographic properties. Although the conjecture seems quite innocuous, its validity remains an open question. Nonetheless, the author sincerely hopes that the theoretical and experimental results presented here will give the reader a good insight into the conjecture. In the second part, some connections between (hyper-)bent functions — a subclass of Boolean functions —, exponential sums and point counting on (hyper)elliptic curves are presented. Bent functions and hyper-bent functions are known to be difficult to classify and to build explicitly. However, exploring the links between these different worlds makes possible to give beautiful answers to theoretical questions and to design efficient algorithms addressing practical problems. The third and last part investigates the theory of (hyper)elliptic curves in a different direction. Several constructions in cryptography indeed rely on the use of highly specific classes of such curves which can not be constructed by classical means. Nevertheless, the so-called “complex multiplication” method solves some of these problems. Class polynomials are fundamental objects for that method, but their construction is usually considered only for maximal orders. The modest contribution of the author is to clarify how a specific flavor of their construction — the complex analytic method — extends to non-maximal orders.


  • Abstract

    La première partie de cette thèse est dévolue à l’étude d’une conjecture combinatoire dont la validité assure l’existence de familles infinies de fonctions booléennes dotées de propriétés cryptographiques intéressantes. Quoique particulièrement innocente au premier abord, la validité de cette conjecture reste un problème ouvert. Néanmoins, l’auteur espère que les résultats théoriques et expérimentaux présentés ici permettront au lecteur d’acquérir un tant soit peu de familiarité avec la conjecture. Dans la seconde partie de ce manuscrit, des liens entre fonctions (hyper-)courbes — une classe particulière de fonctions booléennes —, sommes exponentielles et courbes (hyper)elliptiques sont présentés. Les fonctions (hyper-)courbes sont en effet particulièrement difficiles à classifier et à construire. L’étude des liens mentionnés ci-dessus permet de résoudre de façon élégante des problèmes d’ordre tout aussi bien théorique que pratique. La troisième et dernière partie pousse plus avant l’étude des courbes (hyper)elliptiques d’un point de vue sensiblement différent. De nombreuses constructions cryptographiques reposent en effet sur l’utilisation de classes particulières de telles courbes qui ne peuvent être construites en utilisant des méthodes classiques. Cependant, la méthode CM permet de donner une réponse positive à ce problème. Les polynômes de classes sont des objets fondamentaux de cette méthode. Habituellement, leur construction n’est envisagée que pour des ordres maximaux. La modeste contribution de l’auteur est d’expliciter comment une telle construction — la méthode analytique complexe — s’étend aux ordres non-maximaux.


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