Problèmes de contrôle optimal du type bilinéaire gouvernés par des équations aux dérivées partielles d’évolution

Analysis of bilinear optimal control problems governed by evolution partial differential equations

• Auteur / Autrice : Jean-Marc Clérin
• Direction : Mohammed Moussaoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
• Date : Soutenance le 18/11/2009
• Etablissement(s) : Avignon
• Ecole(s) doctorale(s) : Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; École Doctorale ; 2009-2014)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Avignon (Avignon)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Bonnans
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lionel Thibault
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Pierre Raymond

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Équations d'évolution non linéaires -- Solutions numériques

Mots clés libres

Contrôle optimal bilinéaire

Estimations a priori

Inclusions différentielles

Problèmes d’évolution bien posés

Lois de feedback

Systèmes non linéaires de dimension infinie

Sensibilité

Régularité forte

Bilinear optimal control

A priori estimates

Differential inclusion

Well posed evolution problem

Feedback control

Nonlinear infinite system

Sensitivity

Strong regularity

Résumé

Cette thèse est une contribution à l’étude de problèmes de contrôle optimal dont le caractère non linéaire se traduit par la présence, dans les équations d’état, d’un terme bilinéaire relativement à l’état et au contrôle. Malgré les difficultés liées à la non linéarité, nous obtenons des propriétés spécifiques au cas bilinéaire. L’introduction générale constitue la première partie. La seconde partie est consacrée à l’étude des équations d’état ; ce sont des équations aux dérivées partielles d’évolution. Nous établissons des estimations a priori sur les solutions à partir des inégalités de Willett et Wong et nous démontrons que les équations d’états sont bien posées. Dans le cas où les contrôles subissent une contrainte liée aux états, ces estimations permettent de déduire l’existence de solutions dans le cadre des inclusions différentielles. Les troisième et quatrième parties de ce mémoire sont dévolues à la démonstration de l’existence de contrôles optimaux, puis à l’analyse de la sensibilité relative à une perturbation qui intervient de façon additive dans l’équation d’état. Le caractère bilinéaire permet de vérifier des conditions suffisantes d’optimalité du second ordre. Nous fournissons sur des exemples, une formule explicite des dérivées directionnelles de la fonction valeur optimale

This thesis is devoted to the analysis of nonlinear optimal control problems governed by an evolution state equation involving a term which is bilinear in state and control. The difficulties due to nonlinearity remain, but bilinearity adds a lot of structure to the control problem under consideration. In Section 2, by using Willet and Wong inequalities we establish a priori estimates for the solutions of the state equation. These estimates allow us to prove that the state equation is well posed in the sense of Hadamard. In the case of a feedback constraint on the control, the state equation becomes a differential inclusion. Under mild assumptions, such a differential inclusion is solvable. In Section 3, we prove the existence of solutions to the optimal control problem. Section 4 is devoted to the sensitivity analysis of the optimal control problem. We obtain a formula for the directional derivative of the optimal value function. This general formula is worked out in detail for particular examples