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Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Christophe Garban
Direction : Wendelin Werner
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2008
Etablissement(s) : Paris 11
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Résumé

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Nous étudions certaines propriétés relatives aux processus SLE ainsi que la percolation critique planaire. Dans un premier temps nous évaluons a l'aide des processus SLE, l'aire moyenne qui est comprise dans une boucle brownienne définie dans le plan complexe. Cette aire moyenne pour des boucles de temps un se trouve être égale a Pi sur cinq. Dans un deuxième temps, nous montrons un analogue du théorème de Makarov (concernant le support de la mesure harmonique) dans le cas des processus SLE. Ensuite nous nous intéressons au modèle de la percolation dynamique. Nous montrons que au point critique, la dimension fractale des temps exceptionnels où une composante infinie apparaît est précisément 31/36 dans le cas de la percolation sur réseau triangulaire. Dans le cas de la percolation critique sur Z^2, nous démontrons l'existence de ces temps exceptionnels. L'étude de la percolation dynamique est intimement liée au phénomène connu sous le nom de "sensibilité au bruit" de la percolation critique. Nous démontrons un résultat "optimal" concernant cette sensibilité au bruit de la percolation critique dans un cas général. Ces résultats utilisent abondamment de l'analyse de Fourier discrète. Enfin, dans un dernier temps, nous nous intéressons a la limite d'échelle de la "percolation presque critique". Nous présentons certains résultats qui seront utilises ultérieurement pour la preuve qu'une telle limite continue existe (et est unique).